Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche

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Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche #91016

avt
Kronoa
Cerchio
Sto riscontrando un piccolo problema con lo studio degli asintoti obliqui di questa funzione con radici cubiche

f(x) = x^((1)/(3))(1-x)^((2)/(3))

Potreste darmi una mano? Vi ringrazio!
 
 

Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche #91017

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kronoa,

vediamo come risolvere il tuo dubbio. Ovviamente dobbiamo partire dal dominio della funzione

f(x) = x^((1)/(3))(1-x)^((2)/(3))

Usiamo la definizione di radicale e riscriviamola nella forma

f(x) = [3]√(x)[3]√((1-x)^2)

Poiché sono presenti esclusivamente radici ad indice dispari non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza, dunque

Dom(f) = (-∞,+∞)

Morale della favola: lo studio agli estremi del dominio richiede solamente di considerare i seguenti limiti

lim_(x → -∞)f(x) e lim_(x → +∞)f(x)

Partiamo dal secondo:

lim_(x → +∞)[3]√(x)[3]√((1-x)^2) = +∞

Il calcolo è immediato: si basa sulle regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi perché abbiamo il prodotto di due infiniti. Per il secondo fattore dobbiamo limitarci a considerare l'infinito di ordine principale nella differenza.

Poiché il limite vale +infinito dobbiamo stabilire se la funzione ammette un asintoto obliquo per x → +∞, a partire dal limite

m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x)

ossia

lim_(x → +∞)([3]√(x)[3]√((1-x)^2))/(x) =

Limitandoci a considerare gli infiniti di ordine principale, e riscrivendo i radicali come potenze con esponente fratto, possiamo passare al limite equivalente

= lim_(x → +∞)(x^((1)/(3))x^((2)/(3)))/(x) =

Nota che il segno meno scompare perché abbiamo un quadrato nel secondo fattore. Grazie alle proprietà delle potenze il limite si riduce a

= lim_(x → +∞)(x)/(x) = 1

Quindi il presunto coefficiente angolare del candidato asintoto obliquo è m = 1.

Passiamo al calcolo dell'ordinata all'origine

q = lim_(x → +∞)[f(x)-mx] =

ossia

= lim_(x → +∞)[[3]√(x)[3]√((1-x)^2)-x] =

Tale limite genera una forma indeterminata del tipo infinito-infinito e per calcolarlo non possiamo prescindere da un'opportuna razionalizzazione. Prima però prepariamoci la strada ed effettuiamo un opportuno raccoglimento

= lim_(x → +∞)[3]√(x)[[3]√((1-x)^2)-[3]√(x^2)] =

Ok, procediamo facendo riferimento alla regola della differenza di due cubi, in modo da eliminare le radici

= lim_(x → +∞)[3]√(x)[[3]√((1-x)^2)-[3]√(x^2)]·

·(([3]√((1-x)^2))^2+[3]√((1-x)^2)[3]√(x^2)+([3]√(x^2))^2)/(([3]√((1-x)^2))^2+[3]√((1-x)^2)[3]√(x^2)+([3]√(x^2))^2) =


o, in forma più compatta

= lim_(x → +∞)[3]√(x)[[3]√((1-x)^2)-[3]√(x^2)]·

·([3]√((1-x)^4)+[3]√((1-x)^2x^2)+[3]√(x^4))/([3]√((1-x)^4)+[3]√((1-x)^2x^2)+[3]√(x^4)) =


In questo modo il numeratore ci dà la differenza di cubi desiderata, eliminando la forma indeterminata. Abbiamo scaricato le radici al denominatore, in cui però sono presenti solo somme e dunque non ci sono problemi.

= lim_(x → +∞)[3]√(x)((1-x)^2-x^2)/([3]√((1-x)^4)+[3]√((1-x)^2x^2)+[3]√(x^4)) =

A denominatore possiamo limitarci a considerare gli infiniti di ordine superiore

= lim_(x → +∞)[3]√(x)((1-x)^2-x^2)/([3]√(x^4)+[3]√(x^2x^2)+[3]√(x^4)) =

In definitiva ci rimane

= lim_(x → +∞)[3]√(x)(-2x)/(3[3]√(x^4)) =

o, meglio

= lim_(x → +∞)(-2x^((4)/(3)))/(3x^((4)/(3))) = -(2)/(3)

Poiché l'ordinata all'origine esiste finita, esiste un asintoto obliquo per x → +∞ e in accordo con l'equazione della retta equazione data da

y = x-(2)/(3)

Per lo studio del limite per x → -∞ si procede in maniera del tutto analoga.
Ringraziano: Galois, CarFaby, Kronoa

Re: Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche #91024

avt
Kronoa
Cerchio
Ciao Omega, grazie è tutto chiaro. Ti volevo chiedere soltanto un ultima cosa, il mio prof l'asintoto obliquo lo calcola con Taylor, come riporto qui sotto:

 y = x^((1)/(3))(1-x)^((2)/(3)) = x^((1)/(3))x^((2)/(3))((1)/(x)-1)^((2)/(3)) = x(1-(1)/(x))^((1)/(3)) = x(1-(2)/(3x)) = x-(2)/(3)

Non ho ben capito però perché applica Taylor per l'asintoto obliquo, effettivamente è molto più semplice e veloce però su internet non ho trovato da nessuna parte della teoria che spiegasse che si può usare anche Taylor. Inoltre non capisco questo metodo con Taylor lo posso usare su qualsiasi funzione? Ti ringrazio tanto!

Re: Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche #91025

avt
Omega
Amministratore
Wait wait wait.

L'utilizzo degli sviluppi di Taylor non è tanto una tecnica di calcolo degli asintoti obliqui, quanto più un metodo (il metodo) per calcolare i limiti e per approssimare le funzioni.

Qui il tuo professore, gran volpone, ha usato uno sviluppo di Taylor al primo ordine per vedere se esiste una retta che approssima la funzione all'infinito. La retta esiste, ed è quindi necessariamente l'asintoto obliquo della funzione per x → +∞.

NOTA BENE (riguardo a Taylor e ai limiti)

A volte Taylor è l'unico metodo utilizzabile nel calcolo dei limiti; in altri casi esistono tecniche più elementari ma ben più dispendiose, ed il nostro esempio ricade perfettamente in quest'ultima eventualità.

Dal canto nostro, non sapendo a priori quale sia il livello di preparazione richiesto ai nostri utenti, dobbiamo supporre che sia il più basilare possibile e adoperarci di conseguenza. Se Taylor è previsto dal tuo programma didattico, ben venga Taylor!

Ci tengo però a metterti in guardia: l'interiorizzazione di questa tecnica è molto delicata, ma ti permetterà di conquistare il mondo matematico. Noi abbiamo messo tutto il nostro impegno in una lezione che spiega nel dettaglio come funziona, come procedere, quando procedere, cosa fare e cosa non fare. La trovi qui: limiti con Taylor, maneggiare con cautela.
Ringraziano: CarFaby, Kronoa

Re: Asintoti obliqui di una funzione con radici cubiche #91027

avt
Kronoa
Cerchio
Grazie di tutto Omega, sempre gentile e chiaro!

PS: ora mi metto subito a leggere la lezione.
Ringraziano: Omega
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Os