Teorema di Schur

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Teorema di Schur #90984

avt
feddy
Cerchio
Ho dei dubbi circa l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Schur, che ahimè, in rete non si trova. Potreste per favore scrivermene una? Grazie mille.
 
 

Teorema di Schur #90988

avt
Omega
Amministratore
Il teorema di Schur è un risultato dell'Algebra lineare che garantisce che ogni matrice quadrata a elementi complessi è simile a una matrice triangolare superiore.


Enunciato del teorema di Schur

Data una matrice A\in Mat(n,n,\mathbb{C}), esiste una matrice unitaria U tale per cui \overline{U}^tAU è una matrice triangolare superiore.


Dimostrazione del teorema di Schur

Per dimostrare l'asserto procediamo per induzione sull'ordine n della matrice A.

Per n=1 la tesi è banale.

Passo induttivo: supponiamo che la tesi sia valida per n-1 e proviamo il passo n.

Dato che \mathbb{C} è un campo algebricamente chiuso, il polinomio caratteristico di A deve ammettere almeno uno zero: la matrice A avrà certamente un autovalore \lambda_1\in\mathbb{C}, a cui associamo un autovettore \mathbf{x}_1\in\mathbb{C}^n.

Nulla ci vieta di supporre che tale autovettore abbia norma 1, perché al più potremmo sempre normalizzarlo.

Consideriamo una base ortonormale di \mathbb{C}^n contenente il vettore \mathbf{x}_1

\mathcal{B}=\{\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_2,...,\mathbf{y}_{n}\}

e l'applicazione lineare definita dalla matrice A

\\ L_A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n\\ \\ L_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}

Detta \mathcal{C} la base canonica di \mathbb{C}^n, che è ortonormale, possiamo applicare la formula del cambiamento di base per gli endomorfismi e ottenere la matrice A' espressa nelle coordinate riferite a \mathcal{B}

A'=M^\mathcal{C}_\mathcal{B}AM^\mathcal{B}_\mathcal{C}

dove M^\mathcal{B}_\mathcal{C} indica la matrice di passaggio \mathcal{B}\to\mathcal{C}, mentre M^\mathcal{C}_\mathcal{B} indica la matrice di passaggio \mathcal{C}\to\mathcal{B}, che sono l'una la matrice inversa dell'altra

M^\mathcal{C}_\mathcal{B}=(M^\mathcal{B}_\mathcal{C})^{-1}

Ora, poiché la matrice di passaggio tra due basi ortonormali di \mathbb{C}^n è una matrice unitaria (nota: se lavorassimo con \mathbb{R} in luogo di \mathbb{C}, sarebbe una matrice ortogonale), sappiamo che la matrice inversa coincide con la trasposta coniugata

M^\mathcal{C}_\mathcal{B}=(\overline{M^B_C})^{t}

Alleggeriamo le notazioni chiamando

Q=M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}

in modo che la formula del cambiamento di base si esprima nella forma

A'=\overline{Q}^tAQ

La matrice A', in particolare, avrà la seguente forma

A'=\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & \dots & *\\ 0 & & & \\ \vdots & & G & \\ 0 & & & & \end{pmatrix}

perché è la matrice che esprime A rispetto alla base \mathcal{B}, quindi la prima colonna di A' è composta dalle coordinate della prima colonna di A rispetto a \mathcal{B}.

Qui non ci interessa sapere quale forma abbia G: sappiamo solo che è una matrice di ordine n-1, quindi per l'ipotesi del passo induttivo esiste una matrice unitaria V tale per cui

\overline{V}^tGV=T

dove T è una matrice triangolare superiore.

A questo punto abbiamo raggiunto il passo cruciale della dimostrazione: con un piccolo barbatrucco espandiamo la matrice V alla seguente matrice di ordine n

Z=\begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & & & \\ \vdots & & V & \\ 0 & & & & \end{pmatrix}

Questa nuova matrice è chiaramente unitaria, perché V è un blocco unitario: basta ragionare con il prodotto riga per colonna, trattando V a parte, per verificare che

\overline{Z}^tZ=Z\overline{Z}^t=I_n

Ora, se consideriamo la matrice

U=QZ

risulta ovvio che essa sia una matrice unitaria, dopotutto il prodotto di due matrici unitarie è una matrice unitaria. Per la regola della trasposta coniugata applicata al prodotto di matrici

\overline{U}^tAU=(\overline{QZ})^tAQZ=\overline{Z}^t\overline{Q}^tAQZ=\overline{Z}^tA'Z

e tenendo conto che

\\ A'=\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & \dots & *\\ 0 & & & \\ \vdots & & G & \\ 0 & & & & \end{pmatrix}\\ \\ \\ Z=\begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & & & \\ \vdots & & V & \\ 0 & & & & \end{pmatrix}

possiamo vedere facilmente che, svolgendo la moltiplicazione tra le matrici, la prima riga e la prima colonna restano invariate, mentre il prodotto tra i blocchi \overline{V}^tGV=T produce il blocco triangolare superiore

\overline{U}^tAU=\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & \dots & *\\ 0 & & & \\ \vdots & & T & \\ 0 & & & & \end{pmatrix}

da cui la tesi.
Ringraziano: Galois, CarFaby

Teorema di Schur #91047

avt
feddy
Cerchio
Il 30 di oggi nell'orale di algebra è in gran parte merito vostro... Grazie!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os