Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico
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Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90901
![]() matt950 Punto | Ho provato a risolvere questo esercizio riguardante l'interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema lineare, tratto da un tema d'esame di algebra lineare. Si consideri il sistema dato da tre piani: ![]() (1) Discutere e interpretare geometricamente il sistema di equazioni al variare di k ∈ R. (2) Risolvere il sistema per k = 0. (3) Dire per quali valori di k esiste almeno una retta parallela a tutti e tre i piani. Allora per quanto riguarda il punto 1. Applico il teorema di Rouché-Capelli. Ho che il rango di A (matrice coefficienti) è 2 per k=-2 o k=1 mentre quella completa è sempre 3. (Potrei aver sbagliato i calcoli). Ora non so bene come rispondere al primo quesito, cioè io direi che in puro senso algebrico il sistema è sovradeterminato per k = -2 o k= 1 mentre è determinato per tutti gli altri valori. Ma geometricamente parlando? A me viene da pensare che tutti e tre i piani siano paralleli ma potrebbe anche essere non essere. Come faccio? Il punto (2) è facile. So che per k=0 il sistema è determinato. Risolvendo ottengo la soluzione (0,0,1). Il punto (3) non ho idea di come si risolva. Grazie! |
Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90906
![]() Galois Amministratore | Ciao matt950. ![]() Dobbiamo studiare la compatibilità del seguente sistema lineare al variare del parametro ![]() Anticipo che i risultati da te ottenuti sono corretti, quindi non mi soffermerò a lungo su questa parte e mi limiterò a fare un breve riepilogo. ![]() Scriviamo le due matrici incompleta e completa associate al sistema ![]() Con la regola di Sarrus troviamo il determinante della matrice A. ![]() Risolvendo l'equazione di secondo grado si trova che ![]() Facciamo ora ricorso al teorema di Rouché Capelli. Se Pertanto per Vediamo ora cosa accade per Per ![]() ed è quasi immediato vedere che ![]() Per k=-1 il sistema è quindi incompatibile, ossia non ammette soluzioni. Infine, per ![]() e, ancora una volta: ![]() Pertanto anche per ---------------- ---------------- Passiamo ora alla parte interessante, ossia all'interpretazione geometrica del sistema al variare del parametro k. Anzitutto ricordiamo che ognuna delle tre equazioni del sistema è l'equazione cartesiana di un piano. Per comprendere meglio ciò che tra poco diremo assegniamo un nome a ciascuno dei tre piani; siano ![]() Ora, per Per fissare le idee pensa che il piano ![]() Per A tal scopo ti invito a leggere il nostro articolo sulla posizione reciproca tra due piani - click! Per ![]() È facilissimo vedere che: ![]() ha rango 1, mentre il rango della matrice completa ![]() è pari a 2. ![]() che ha rango pari a 2, ossia rango massimo. ![]() ha rango massimo. Questa è l'interpretazione geometrica del sistema per ![]() Supponiamo che Guardati intorno e vedrai che le loro posizioni reciproche vengono rispettate. Infine, vediamo cosa accade per ![]() Procedendo come nel punto precedente, ossia calcolando il rango delle matrici formate dai coefficienti delle rispettive coppie di piani, vedrai che i piani sono a due incidenti, ossia sono coppie di piani incidenti. Per fissare le idee supponiamo che ![]() Come puoi osservare, se presi a due a due, i piani hanno una retta in comune, ossia sono a due a due incidenti. ---------------- ---------------- Freschi di queste considerazioni possiamo subito rispondere al punto 3) del problema il quale ci chiede di stabilire per quali valori di k esiste almeno una retta parallela ai tre piani. Poiché per Rimane quindi solo da vedere se può esistere tale retta per k=1 e per k=-2. Avere un'idea grafica di quello che accade è l'unico modo per venir fuori da questo genere di richieste. Abbiamo visto che per k=1, Allora ogni retta che sia parallela all'intersezione tra pavimento e parete, e, soffitto e parete è parallela a tutti e tre piani. Ovviamente in sede d'esame non scriveremo mai una cosa del genere, ma diremo che: per k=1 ogni retta che sia parallela: sia alla retta d'intersezione tra che alla retta d'intersezione tra è una retta parallela ai tre piani. Per -------------- -------------- Per concludere l'esercizio dobbiamo risolvere il sistema per Molto semplicemente il sistema iniziale si riduce a ![]() e procedendo con il metodo di sostituzione per sistemi lineari troviamo l'unica soluzione È tutto! ![]() |
Ringraziano: Omega, matt950 |
Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90908
![]() matt950 Punto | Grazie Non riesco però a capire con k=-2. In realtà |
Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90918
![]() Galois Amministratore | Usare pavimento, soffitto e pareti per visualizzare i piani aiuta solo ad avere un'idea della situazione, di certo non rispecchia la situazione reale, così come il disegno che ti ho riportato. Per avere un'idea ancora più generale pensa che le pareti della stanza non siano ortogonali a pavimento e pareti, ma siano inclinate.. Purtroppo visto che disegniamo su un foglio, e quindi in due dimensioni, è impossibile disegnare quello che in realtà è un piano, sia perché è un ente dello spazio sia perché si estende all'infinito. ![]() Semplicemente: per per per Questo è il riepilogo dell'interpretazione geometrica del sistema la variare del parametro. ![]() |
Ringraziano: Omega, matt950 |
Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90919
![]() matt950 Punto | Quindi per avere il parallelismo retta piani in questo caso, basta che la retta ipotetica sia parallela alle rette "generate" per intersezione tra i piani? |
Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90921
![]() Galois Amministratore | Esattamente ![]() |
Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90922
![]() matt950 Punto | Grazie mi è tutto molto più chiaro ora! |
Ringraziano: Galois |
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