Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico

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Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90901

avt
matt950
Punto
Ho provato a risolvere questo esercizio riguardante l'interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema lineare, tratto da un tema d'esame di algebra lineare.

Si consideri il sistema dato da tre piani:

\begin{cases}x+ky+z-1=0 \\ x+y+kz=0 \\ 2y+kz-k=0 \end{cases}, \ k\in \mathbb{R}

(1) Discutere e interpretare geometricamente il sistema di equazioni al variare di k ∈ R.

(2) Risolvere il sistema per k = 0.

(3) Dire per quali valori di k esiste almeno una retta parallela a tutti e tre i piani.

Allora per quanto riguarda il punto 1. Applico il teorema di Rouché-Capelli.

Ho che il rango di A (matrice coefficienti) è 2 per k=-2 o k=1 mentre quella completa è sempre 3. (Potrei aver sbagliato i calcoli).

Ora non so bene come rispondere al primo quesito, cioè io direi che in puro senso algebrico il sistema è sovradeterminato per k = -2 o k= 1 mentre è determinato per tutti gli altri valori. Ma geometricamente parlando? A me viene da pensare che tutti e tre i piani siano paralleli ma potrebbe anche essere non essere. Come faccio?

Il punto (2) è facile. So che per k=0 il sistema è determinato. Risolvendo ottengo la soluzione (0,0,1).

Il punto (3) non ho idea di come si risolva.

Grazie!
 
 

Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90906

avt
Galois
Coamministratore
Ciao matt950. emt

Dobbiamo studiare la compatibilità del seguente sistema lineare al variare del parametro k\in \mathbb{R}

\begin{cases}x+ky+z=1 \\ x+y+kz=0 \\ 2y+kz=k\end{cases}

Anticipo che i risultati da te ottenuti sono corretti, quindi non mi soffermerò a lungo su questa parte e mi limiterò a fare un breve riepilogo. emt

Scriviamo le due matrici incompleta e completa associate al sistema

\\ A=\begin{pmatrix}1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \\ 0 & 2 & k\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b)=\begin{pmatrix}1 & k & 1 & 1\\ 1 & 1 & k & 0 \\ 0 & 2 & k & k\end{pmatrix}

Con la regola di Sarrus troviamo il determinante della matrice A.

\mbox{det}(A)=-k^2-k+2

Risolvendo l'equazione di secondo grado

-k^2-k+2=0

si trova che

\mbox{det}(A)=0 \iff k=1 \ \vee \ k=-2

Facciamo ora ricorso al teorema di Rouché Capelli.

Se k\neq 1 \mbox{ e } k\neq -2 allora il rango della matrice A è pari a 3, così come il rango della matrice completa (A|b).

Pertanto per k\neq 1 \mbox{ e } k\neq -2 il sistema è compatibile e ammette un'unica soluzione.

Vediamo ora cosa accade per k=1 e per k=-2, studiando i due casi separatamente.


Per k=1 le due matrici associate al sistema diventano

\\ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}

ed è quasi immediato vedere che

rank(A)=2 \neq rank(A|b)=3

Per k=-1 il sistema è quindi incompatibile, ossia non ammette soluzioni.

Infine, per k=-2 abbiamo

\\ A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -2\end{pmatrix}

e, ancora una volta:

rank(A)=2 \neq rank(A|b)=3.

Pertanto anche per k=-2 il sistema non ammette soluzioni.

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Passiamo ora alla parte interessante, ossia all'interpretazione geometrica del sistema al variare del parametro k.

Anzitutto ricordiamo che ognuna delle tre equazioni del sistema è l'equazione cartesiana di un piano.

Per comprendere meglio ciò che tra poco diremo assegniamo un nome a ciascuno dei tre piani; siano

\\ \alpha: \ x+ky+z=1  \\ \\ \beta: \ x+y+kz=0 \\ \\ \gamma: \ 2y+kz=k

Ora, per k\neq 1 \mbox{ e } k \neq -2 il sistema ammette un'unica soluzione e ciò vuol dire che i tre piani \alpha, \ \beta \mbox{ e } \gamma si intersecano in un punto.

Per fissare le idee pensa che il piano \alpha sia il soffitto di una stanza ed i piani \beta \mbox{ e } \gamma due pareti con uno spigolo in comune. Come puoi osservare guardandoti intorno i tre piani (soffitto e pareti) si intersecano in un punto (il vertice alto della stanza) emt


Per k=1 il sistema è incompatibile. Ciò vuol dire che i tre piani non hanno nulla in comune ma, per dare un'interpretazione geometrica della situazione dobbiamo studiare la loro posizione reciproca se presi a due a due.

A tal scopo ti invito a leggere il nostro articolo sulla posizione reciproca tra due piani - click!

Per k=1 l'equazione dei tre piani diventa:

\\ \alpha: \ x+y+z=1  \\ \\ \beta: \ x+y+z=0 \\ \\ \gamma: \ 2y+z=1

È facilissimo vedere che:

\bullet \ \alpha \mbox{ e } \beta sono tra loro paralleli; infatti il rango della matrice dei coefficienti delle incognite delle rispettive equazioni:

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

ha rango 1, mentre il rango della matrice completa

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

è pari a 2.


\bullet \ \alpha \mbox{ e } \gamma sono piani incidenti in quanto il rango della matrice dei coefficienti è:

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

che ha rango pari a 2, ossia rango massimo.

\bullet \ \beta \mbox{ e } \gamma sono, anch'essi, piani incidenti; infatti il rango della matrice dei coefficienti delle incognite delle rispettive equazioni:

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

ha rango massimo.

Questa è l'interpretazione geometrica del sistema per k=1 ma, come prima, possiamo fissare le idee con l'aiuto di pareti, soffitti e pavimenti. emt

Supponiamo che \alpha, \ \beta \mbox{ e } \gamma siano, rispettivamente, pavimento, soffitto e parete laterale di una stanza.

Guardati intorno e vedrai che le loro posizioni reciproche vengono rispettate.


Infine, vediamo cosa accade per k=-2. Le equazioni dei tre piani si scrivono come

\\ \alpha: \ x-2y+z=1  \\ \\ \beta: \ x+y-2z=0 \\ \\ \gamma: \ 2y-2z=-2

Procedendo come nel punto precedente, ossia calcolando il rango delle matrici formate dai coefficienti delle rispettive coppie di piani, vedrai che i piani sono a due incidenti, ossia

\alpha \mbox{ e } \beta, \quad \alpha \mbox{ e } \gamma, \ \quad \beta \mbox{ e } \gamma

sono coppie di piani incidenti.

Per fissare le idee supponiamo che \alpha \mbox{ e } \beta siano, rispettivamente, soffitto e parete di una stanza, mentre \gamma sia il piano (dobbiamo fare un piccolo sforzo per immaginarlo) che taglia diagonalmente la stanza, ossia se \alpha \mbox{ e } \beta sono i piani riportati in figura, \gamma è il piano che contiene le rette r \mbox{ e } t.

posizione piani


Come puoi osservare, se presi a due a due, i piani hanno una retta in comune, ossia sono a due a due incidenti.

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Freschi di queste considerazioni possiamo subito rispondere al punto 3) del problema il quale ci chiede di stabilire per quali valori di k esiste almeno una retta parallela ai tre piani.

Poiché per k\neq 1 \mbox{ e } k\neq -2 i tre piani si intersecano in un punto, ovviamente, per tali valori di k, non ci potrà essere nessuna retta che sia parallela a tutti e tre i piani contemporaneamente.

Rimane quindi solo da vedere se può esistere tale retta per k=1 e per k=-2.

Avere un'idea grafica di quello che accade è l'unico modo per venir fuori da questo genere di richieste.

Abbiamo visto che per k=1, \alpha, \ \beta \mbox{ e } \gamma si possono immaginare come pavimento, soffitto e parete laterale di una stanza.

Allora ogni retta che sia parallela all'intersezione tra pavimento e parete, e, soffitto e parete è parallela a tutti e tre piani.

Ovviamente in sede d'esame non scriveremo mai una cosa del genere, ma diremo che:

per k=1 ogni retta che sia parallela:

sia alla retta d'intersezione tra \alpha \mbox{ e } \gamma

che alla retta d'intersezione tra \beta \mbox{ e } \gamma

è una retta parallela ai tre piani.


Per k=-2, ogni retta che sia parallela a tutte e tre le rette di intersezione tra le coppie di piani, è parallela a ciascuno dei piani.

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Per concludere l'esercizio dobbiamo risolvere il sistema per k=0.

Molto semplicemente il sistema iniziale si riduce a

\begin{cases}x+z=1 \\ x+y=0 \\ 2y=0\end{cases}

e procedendo con il metodo di sostituzione per sistemi lineari troviamo l'unica soluzione

(x,y,z)=(0,0,1)

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, matt950

Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90908

avt
matt950
Punto
Grazie
Non riesco però a capire con k=-2. In realtà \alpha e \beta non sono perpendicolari perchè il loro prodotto scalare è diverso da 0. Mentre il disegno che mi hai proposto li mostra incidenti e ortogonali. Più che altro sono confuso su come si possano disegnare i piani. Con k=1 va bene che \alpha e \beta siano paralleli, ma il piano \gamma non interseca ortogonalmente \alpha e \beta

Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90918

avt
Galois
Coamministratore
Usare pavimento, soffitto e pareti per visualizzare i piani aiuta solo ad avere un'idea della situazione, di certo non rispecchia la situazione reale, così come il disegno che ti ho riportato.

Per avere un'idea ancora più generale pensa che le pareti della stanza non siano ortogonali a pavimento e pareti, ma siano inclinate..

Purtroppo visto che disegniamo su un foglio, e quindi in due dimensioni, è impossibile disegnare quello che in realtà è un piano, sia perché è un ente dello spazio sia perché si estende all'infinito. emt

Semplicemente:

per k=-2 abbiamo tre piani tali da essere incidenti se presi a due a due;

per k=1 i primi due piani sono paralleli ed il terzo piano è incidente agli altri due;

per k\neq 1 \mbox{ e } k\neq -2 i tre piani sono incidenti e si intersecano in un punto.

Questo è il riepilogo dell'interpretazione geometrica del sistema la variare del parametro. emt
Ringraziano: Omega, matt950

Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90919

avt
matt950
Punto
Quindi per avere il parallelismo retta piani in questo caso, basta che la retta ipotetica sia parallela alle rette "generate" per intersezione tra i piani?

Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90921

avt
Galois
Coamministratore
Esattamente emt

Re: Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema parametrico #90922

avt
matt950
Punto
Grazie mi è tutto molto più chiaro ora!
Ringraziano: Galois
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Os