Limite in due variabili con seno e parametro

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Limite in due variabili con seno e parametro #90873

manu_ela_78

Cerchio

Pensavo di aver capito i limiti in due variabili parametrici ma dalle verifiche con il risolutore non è così.

Vorrei riuscire, grazie a voi, a fare il "salto" di qualità nella comprensione di questo argomento perché il mio prof assegna sempre un esercizio di questo tipo all'esame.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}$

Riporto anche il mio tentativo di svolgimento.

Per

passando alle coordinate polari mi viene che il limite equivalente (applicando il limite notevole del seno) è minore in modulo di una maggiorante radiale che è infinitesima per

. Che significa questo risultato e come lo interpreto, visto che avevo posto il parametro maggiore di zero?

Se verifico con Wolfram il limite per

non esiste.

Per

mi viene

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3)}{(0+0)^0}$

che vuol dire?

Per

mi viene 0 (come Wolfram) perché il denominatore sale a numeratore e moltiplica una funzione limitata $\sin\left(\frac{x^3}{y^{-2a}}\right)$ .

Grazie di tutto,
Manuela

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90880

Omega

Amministratore

dCiao Manu_ela_78,

nel tuo tentativo di risoluzione ci sono ottimi spunti, ma anche alcuni piccoli grandi errori che è meglio evitare. Vediamo come procedere. emt

Premetto che finché la questione riguarda i limiti in due variabili devi fidarti relativamente di Wolfram, perché ha un metodo tutto suo e soprattutto tende a calcolare i limiti in due variabili in $\mathbb{C}$ anziché in $\mathbb{R}$ . In generale non è attendibile.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}$

Ottima l'idea di distinguere tra i casi $a>0,\ a=0,\ a<0$ .

Parto dal caso

perché è quello che contiene l'errore algebricamente più pericoloso: osserva che le proprietà delle potenze NON prevedono che

$(x^{3a}+y^{3a})=(x+y)^{3a}\ \ \ \mbox{NO}$

e che, d'altra parte, sostituendo il valore del parametro ancor prima di considerare il limite

$x^{0}=1,\ y^0=1$

quindi il limite diventa

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3)}{1+1}=0$

Consideriamo il caso

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}$

Naturalmente l'argomento del seno tende a zero senza ombra di dubbi in questo caso, quindi possiamo applicare il limite notevole del seno e passare a calcolare il limite equivalente

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 y^{2a}}{x^{3a}+y^{3a}}$

Passiamo in coordinate polari

$\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^3\cos^3(\theta)\rho^{2a}\sin^{2a}(\theta)}{\rho^{3a}\cos^{3a}(\theta)+\rho^{3a}\sin^{3a}(\theta)}$

Con un opportuno raccoglimento, e grazie alle proprietà delle potenze

$\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^{3+2a-3a}\cos^3(\theta)\sin^{2a}(\theta)}{\cos^{3a}(\theta)+\sin^{3a}(\theta)}$

ossia

$\lim_{\rho\to 0}\rho^{3-a}\left(\frac{\cos^3(\theta)\sin^{2a}(\theta)}{\cos^{3a}(\theta)+\sin^{3a}(\theta)}\right)$

Qui non hai bisogno (e non puoi) procedere per confronto; piuttosto osserva che per

hai il prodotto tra un infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni $\theta$ lungo cui la funzione non è definita - denominatore uguale a zero - vanno escluse a priori). In sintesi, il limite vale zero.

Mettendo insieme la condizione

e la limitazione imposta dal caso in esame, risulta che il limite vale zero per

.

Se invece $a\geq 3$ , il limite non esiste.

Come ultimo caso consideriamo

.

Attenzione perché non puoi affermare che il denominatore salga a numeratore, per la stessa osservazione sulle proprietà delle potenze che ho riportato in precedenza.

Qui possiamo procedere per confronto sfruttando la limitatezza della funzione seno

$\left|\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}\right|=$

grazie alle proprietà del valore assoluto

$=\frac{|\sin(x^3 y^{2a})|}{|x^{3a}+y^{3a}|}\leq\frac{1}{|x^{3a}+y^{3a}|}$

Qui puoi riscrivere il denominatore del maggiorante nella forma

$\frac{1}{|x^{3a}+y^{3a}|}=\frac{1}{|\frac{1}{x^{-3a}}+\frac{1}{y^{-3a}}|}$

dove

. Escludendo le direzioni $x=0,\ y=0$ (lungo cui la funzione non è definita), si vede subito che il limite vale zero perché genera un rapporto tra una costante e un infinito (algebra di infiniti e infinitesimi). Se questo passaggio non dovesse convincerti puoi comunque passare in coordinate polari e dedurlo facilmente. emt

Ringraziano: CarFaby

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90881

manu_ela_78 Cerchio	Benissimo, grazie! Riguardo all'errore che ho commesso, non posso vedere il denominatore come perché dovrei sviluppare la potenza con tutti i termini misti? Che stupida non ci avevo proprio pensato! Grazie!
	Ringraziano: Omega

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90883

Omega Amministratore	Esatto: il punto è che la potenza di una somma non si distribuisce linearmente tra gli addendi.
	Ringraziano: manu_ela_78

Pagina:
1