Limite in due variabili con seno e parametro

Pensavo di aver capito i limiti in due variabili parametrici ma dalle verifiche con il risolutore non è così.

Vorrei riuscire, grazie a voi, a fare il "salto" di qualità nella comprensione di questo argomento perché il mio prof assegna sempre un esercizio di questo tipo all'esame.



Riporto anche il mio tentativo di svolgimento.

Per passando alle coordinate polari mi viene che il limite equivalente (applicando il limite notevole del seno) è minore in modulo di una maggiorante radiale che è infinitesima per . Che significa questo risultato e come lo interpreto, visto che avevo posto il parametro maggiore di zero?

Se verifico con Wolfram il limite per non esiste.

Per mi viene



che vuol dire?

Per mi viene 0 (come Wolfram) perché il denominatore sale a numeratore e moltiplica una funzione limitata .

Grazie di tutto,
Manuela

dCiao Manu_ela_78,

nel tuo tentativo di risoluzione ci sono ottimi spunti, ma anche alcuni piccoli grandi errori che è meglio evitare. Vediamo come procedere.

Premetto che finché la questione riguarda i limiti in due variabili devi fidarti relativamente di Wolfram, perché ha un metodo tutto suo e soprattutto tende a calcolare i limiti in due variabili in anziché in . In generale non è attendibile.



Ottima l'idea di distinguere tra i casi .


Parto dal caso perché è quello che contiene l'errore algebricamente più pericoloso: osserva che le proprietà delle potenze NON prevedono che



e che, d'altra parte, sostituendo il valore del parametro ancor prima di considerare il limite



quindi il limite diventa




Consideriamo il caso



Naturalmente l'argomento del seno tende a zero senza ombra di dubbi in questo caso, quindi possiamo applicare il limite notevole del seno e passare a calcolare il limite equivalente



Passiamo in coordinate polari



Con un opportuno raccoglimento, e grazie alle proprietà delle potenze



ossia



Qui non hai bisogno (e non puoi) procedere per confronto; piuttosto osserva che per hai il prodotto tra un infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni lungo cui la funzione non è definita - denominatore uguale a zero - vanno escluse a priori). In sintesi, il limite vale zero.

Mettendo insieme la condizione e la limitazione imposta dal caso in esame, risulta che il limite vale zero per .

Se invece , il limite non esiste.


Come ultimo caso consideriamo .

Attenzione perché non puoi affermare che il denominatore salga a numeratore, per la stessa osservazione sulle proprietà delle potenze che ho riportato in precedenza.

Qui possiamo procedere per confronto sfruttando la limitatezza della funzione seno



grazie alle proprietà del valore assoluto



Qui puoi riscrivere il denominatore del maggiorante nella forma



dove . Escludendo le direzioni (lungo cui la funzione non è definita), si vede subito che il limite vale zero perché genera un rapporto tra una costante e un infinito (algebra di infiniti e infinitesimi). Se questo passaggio non dovesse convincerti puoi comunque passare in coordinate polari e dedurlo facilmente.

Benissimo, grazie!

Riguardo all'errore che ho commesso, non posso vedere il denominatore come perché dovrei sviluppare la potenza con tutti i termini misti?

Che stupida non ci avevo proprio pensato!

Grazie!

Esatto: il punto è che la potenza di una somma non si distribuisce linearmente tra gli addendi.