dCiao Manu_ela_78,
nel tuo tentativo di risoluzione ci sono ottimi spunti, ma anche alcuni piccoli grandi errori che è meglio evitare. Vediamo come procedere.
Premetto che finché la questione riguarda i
limiti in due variabili devi fidarti relativamente di Wolfram, perché ha un metodo tutto suo e soprattutto tende a calcolare i limiti in due variabili in

anziché in

. In generale non è attendibile.
Ottima l'idea di distinguere tra i casi

.
Parto dal caso

perché è quello che contiene l'errore algebricamente più pericoloso: osserva che le
proprietà delle potenze NON prevedono che
e che, d'altra parte, sostituendo il valore del parametro ancor prima di considerare il limite
quindi il limite diventa
Consideriamo il caso
Naturalmente l'argomento del
seno tende a zero senza ombra di dubbi in questo caso, quindi possiamo applicare il
limite notevole del seno e passare a calcolare il limite equivalente
Passiamo in
coordinate polari
Con un opportuno raccoglimento, e grazie alle proprietà delle potenze
ossia
Qui non hai bisogno (e non puoi) procedere per confronto; piuttosto osserva che per

hai il prodotto tra un
infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni

lungo cui la funzione non è definita - denominatore uguale a zero - vanno escluse a priori). In sintesi, il limite vale zero.
Mettendo insieme la condizione

e la limitazione imposta dal caso in esame, risulta che il limite vale zero per

.
Se invece

, il limite non esiste.
Come ultimo caso consideriamo

.
Attenzione perché non puoi affermare che il denominatore salga a numeratore, per la stessa osservazione sulle proprietà delle potenze che ho riportato in precedenza.
Qui possiamo procedere per confronto sfruttando la
limitatezza della
funzione seno
grazie alle proprietà del
valore assoluto
Qui puoi riscrivere il denominatore del maggiorante nella forma
dove

. Escludendo le direzioni

(lungo cui la funzione non è definita), si vede subito che il limite vale zero perché genera un rapporto tra una costante e un
infinito (algebra di
infiniti e infinitesimi). Se questo passaggio non dovesse convincerti puoi comunque passare in coordinate polari e dedurlo facilmente.
