Limite in due variabili con seno e parametro

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Limite in due variabili con seno e parametro #90873

avt
manu_ela_78
Cerchio
Pensavo di aver capito i limiti in due variabili parametrici ma dalle verifiche con il risolutore non è così.

Vorrei riuscire, grazie a voi, a fare il "salto" di qualità nella comprensione di questo argomento perché il mio prof assegna sempre un esercizio di questo tipo all'esame.

lim_((x,y) → (0,0))(sin(x^3 y^(2a)))/(x^(3a)+y^(3a))

Riporto anche il mio tentativo di svolgimento.

Per a > 0 passando alle coordinate polari mi viene che il limite equivalente (applicando il limite notevole del seno) è minore in modulo di una maggiorante radiale che è infinitesima per a < 3. Che significa questo risultato e come lo interpreto, visto che avevo posto il parametro maggiore di zero?

Se verifico con Wolfram il limite per a > 0 non esiste.

Per a = 0 mi viene

lim_((x,y) → (0,0))(sin(x^3))/((0+0)^0)

che vuol dire?

Per a < 0 mi viene 0 (come Wolfram) perché il denominatore sale a numeratore e moltiplica una funzione limitata sin((x^3)/(y^(-2a))).

Grazie di tutto,
Manuela
 
 

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90880

avt
Omega
Amministratore
dCiao Manu_ela_78,

nel tuo tentativo di risoluzione ci sono ottimi spunti, ma anche alcuni piccoli grandi errori che è meglio evitare. Vediamo come procedere. emt

Premetto che finché la questione riguarda i limiti in due variabili devi fidarti relativamente di Wolfram, perché ha un metodo tutto suo e soprattutto tende a calcolare i limiti in due variabili in C anziché in R. In generale non è attendibile.

lim_((x,y) → (0,0))(sin(x^3 y^(2a)))/(x^(3a)+y^(3a))

Ottima l'idea di distinguere tra i casi a > 0, a = 0, a < 0.


Parto dal caso a = 0 perché è quello che contiene l'errore algebricamente più pericoloso: osserva che le proprietà delle potenze NON prevedono che

(x^(3a)+y^(3a)) = (x+y)^(3a) NO

e che, d'altra parte, sostituendo il valore del parametro ancor prima di considerare il limite

x^(0) = 1, y^0 = 1

quindi il limite diventa

lim_((x,y) → (0,0))(sin(x^3))/(1+1) = 0


Consideriamo il caso a > 0

lim_((x,y) → (0,0))(sin(x^3 y^(2a)))/(x^(3a)+y^(3a))

Naturalmente l'argomento del seno tende a zero senza ombra di dubbi in questo caso, quindi possiamo applicare il limite notevole del seno e passare a calcolare il limite equivalente

lim_((x,y) → (0,0))(x^3 y^(2a))/(x^(3a)+y^(3a))

Passiamo in coordinate polari

lim_(ρ → 0)(ρ^3cos^3(θ)ρ^(2a)sin^(2a)(θ))/(ρ^(3a)cos^(3a)(θ)+ρ^(3a)sin^(3a)(θ))

Con un opportuno raccoglimento, e grazie alle proprietà delle potenze

lim_(ρ → 0)(ρ^(3+2a-3a)cos^3(θ)sin^(2a)(θ))/(cos^(3a)(θ)+sin^(3a)(θ))

ossia

lim_(ρ → 0)ρ^(3-a)((cos^3(θ)sin^(2a)(θ))/(cos^(3a)(θ)+sin^(3a)(θ)))

Qui non hai bisogno (e non puoi) procedere per confronto; piuttosto osserva che per a < 3 hai il prodotto tra un infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni θ lungo cui la funzione non è definita - denominatore uguale a zero - vanno escluse a priori). In sintesi, il limite vale zero.

Mettendo insieme la condizione a < 3 e la limitazione imposta dal caso in esame, risulta che il limite vale zero per 0 < a < 3.

Se invece a ≥ 3, il limite non esiste.


Come ultimo caso consideriamo a < 0.

Attenzione perché non puoi affermare che il denominatore salga a numeratore, per la stessa osservazione sulle proprietà delle potenze che ho riportato in precedenza.

Qui possiamo procedere per confronto sfruttando la limitatezza della funzione seno

|(sin(x^3 y^(2a)))/(x^(3a)+y^(3a))| =

grazie alle proprietà del valore assoluto

= (|sin(x^3 y^(2a))|)/(|x^(3a)+y^(3a)|) ≤ (1)/(|x^(3a)+y^(3a)|)

Qui puoi riscrivere il denominatore del maggiorante nella forma

(1)/(|x^(3a)+y^(3a)|) = (1)/(|(1)/(x^(-3a))+(1)/(y^(-3a))|)

dove -3a > 0. Escludendo le direzioni x = 0, y = 0 (lungo cui la funzione non è definita), si vede subito che il limite vale zero perché genera un rapporto tra una costante e un infinito (algebra di infiniti e infinitesimi). Se questo passaggio non dovesse convincerti puoi comunque passare in coordinate polari e dedurlo facilmente. emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90881

avt
manu_ela_78
Cerchio
Benissimo, grazie!

Riguardo all'errore che ho commesso, non posso vedere il denominatore come (x^3+y^3)^a perché dovrei sviluppare la potenza con tutti i termini misti?

Che stupida non ci avevo proprio pensato!

Grazie!
Ringraziano: Omega

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90883

avt
Omega
Amministratore
Esatto: il punto è che la potenza di una somma non si distribuisce linearmente tra gli addendi. emt
Ringraziano: manu_ela_78
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Os