Limite in due variabili con seno e parametro

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Limite in due variabili con seno e parametro #90873

avt
manu_ela_78
Cerchio
Pensavo di aver capito i limiti in due variabili parametrici ma dalle verifiche con il risolutore non è così.

Vorrei riuscire, grazie a voi, a fare il "salto" di qualità nella comprensione di questo argomento perché il mio prof assegna sempre un esercizio di questo tipo all'esame.

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}

Riporto anche il mio tentativo di svolgimento.

Per a>0 passando alle coordinate polari mi viene che il limite equivalente (applicando il limite notevole del seno) è minore in modulo di una maggiorante radiale che è infinitesima per a<3. Che significa questo risultato e come lo interpreto, visto che avevo posto il parametro maggiore di zero?

Se verifico con Wolfram il limite per a>0 non esiste.

Per a=0 mi viene

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3)}{(0+0)^0}

che vuol dire?

Per a<0 mi viene 0 (come Wolfram) perché il denominatore sale a numeratore e moltiplica una funzione limitata \sin\left(\frac{x^3}{y^{-2a}}\right).

Grazie di tutto,
Manuela
 
 

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90880

avt
Omega
Amministratore
dCiao Manu_ela_78,

nel tuo tentativo di risoluzione ci sono ottimi spunti, ma anche alcuni piccoli grandi errori che è meglio evitare. Vediamo come procedere. emt

Premetto che finché la questione riguarda i limiti in due variabili devi fidarti relativamente di Wolfram, perché ha un metodo tutto suo e soprattutto tende a calcolare i limiti in due variabili in \mathbb{C} anziché in \mathbb{R}. In generale non è attendibile.

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}

Ottima l'idea di distinguere tra i casi a>0,\ a=0,\ a<0.


Parto dal caso a=0 perché è quello che contiene l'errore algebricamente più pericoloso: osserva che le proprietà delle potenze NON prevedono che

(x^{3a}+y^{3a})=(x+y)^{3a}\ \ \ \mbox{NO}

e che, d'altra parte, sostituendo il valore del parametro ancor prima di considerare il limite

x^{0}=1,\ y^0=1

quindi il limite diventa

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3)}{1+1}=0


Consideriamo il caso a>0

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}

Naturalmente l'argomento del seno tende a zero senza ombra di dubbi in questo caso, quindi possiamo applicare il limite notevole del seno e passare a calcolare il limite equivalente

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 y^{2a}}{x^{3a}+y^{3a}}

Passiamo in coordinate polari

\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^3\cos^3(\theta)\rho^{2a}\sin^{2a}(\theta)}{\rho^{3a}\cos^{3a}(\theta)+\rho^{3a}\sin^{3a}(\theta)}

Con un opportuno raccoglimento, e grazie alle proprietà delle potenze

\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^{3+2a-3a}\cos^3(\theta)\sin^{2a}(\theta)}{\cos^{3a}(\theta)+\sin^{3a}(\theta)}

ossia

\lim_{\rho\to 0}\rho^{3-a}\left(\frac{\cos^3(\theta)\sin^{2a}(\theta)}{\cos^{3a}(\theta)+\sin^{3a}(\theta)}\right)

Qui non hai bisogno (e non puoi) procedere per confronto; piuttosto osserva che per a<3 hai il prodotto tra un infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni \theta lungo cui la funzione non è definita - denominatore uguale a zero - vanno escluse a priori). In sintesi, il limite vale zero.

Mettendo insieme la condizione a<3 e la limitazione imposta dal caso in esame, risulta che il limite vale zero per 0<a<3.

Se invece a\geq 3, il limite non esiste.


Come ultimo caso consideriamo a<0.

Attenzione perché non puoi affermare che il denominatore salga a numeratore, per la stessa osservazione sulle proprietà delle potenze che ho riportato in precedenza.

Qui possiamo procedere per confronto sfruttando la limitatezza della funzione seno

\left|\frac{\sin(x^3 y^{2a})}{x^{3a}+y^{3a}}\right|=

grazie alle proprietà del valore assoluto

=\frac{|\sin(x^3 y^{2a})|}{|x^{3a}+y^{3a}|}\leq\frac{1}{|x^{3a}+y^{3a}|}

Qui puoi riscrivere il denominatore del maggiorante nella forma

\frac{1}{|x^{3a}+y^{3a}|}=\frac{1}{|\frac{1}{x^{-3a}}+\frac{1}{y^{-3a}}|}

dove -3a>0. Escludendo le direzioni x=0,\ y=0 (lungo cui la funzione non è definita), si vede subito che il limite vale zero perché genera un rapporto tra una costante e un infinito (algebra di infiniti e infinitesimi). Se questo passaggio non dovesse convincerti puoi comunque passare in coordinate polari e dedurlo facilmente. emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90881

avt
manu_ela_78
Cerchio
Benissimo, grazie!

Riguardo all'errore che ho commesso, non posso vedere il denominatore come (x^3+y^3)^a perché dovrei sviluppare la potenza con tutti i termini misti?

Che stupida non ci avevo proprio pensato!

Grazie!
Ringraziano: Omega

Re: Limite in due variabili con seno e parametro #90883

avt
Omega
Amministratore
Esatto: il punto è che la potenza di una somma non si distribuisce linearmente tra gli addendi. emt
Ringraziano: manu_ela_78
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Os