Limite in due variabili parametrico con seno

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Limite in due variabili parametrico con seno #90872

avt
manu_ela_78
Cerchio
Propongo un limite in due variabili fratto con seno e un parametro, molto simile ad un limite che ho postato in precedenza, perché vorrei capire la differenza tra le due casistiche

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^{3a}y^2)}{x^{2a}+y^{2a}}

Vorrei capire perché il metodo che ho applicato in questo topic (limite in due variabili con seno e parametro) non è applicabile in questo caso.

Grazie di tutto
 
 

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90882

avt
Omega
Amministratore
Come ho già scritto poco fa nel precedente esercizio, quando si tratta di limiti in due variabili è meglio non fidarsi di Wolfram. emt

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^{3a}y^2)}{x^{2a}+y^{2a}}

Procediamo in maniera del tutto analoga distinguendo tra i casi a=0,\ a>0,\ a<0.


Caso a=0: il limite si riduce a

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(y^2)}{1+1}=0


Caso a>0

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^{3a}y^2)}{x^{2a}+y^{2a}}

Poiché l'argomento a numeratore tende a zero, possiamo applicare il limite notevole del seno e passare al limite equivalente

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3a}y^2}{x^{2a}+y^{2a}}

A questo punto passiamo in coordinate polari

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\rho^{3a}\cos^{3a}(\theta)\rho^2\sin^2(\theta)}{\rho^{2a}\cos^{2a}(\theta)+\rho^{2a}\sin^{2a}(\theta)}

Raccogliamo il termine comune a denominatore ed applichiamo le proprietà delle potenze

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\rho^{3a+2-2a}\left(\frac{\cos^{3a}(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^{2a}(\theta)+\sin^{2a}(\theta)}\right)

ossia

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\rho^{a+2}\left(\frac{\cos^{3a}(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^{2a}(\theta)+\sin^{2a}(\theta)}\right)

Quindi, se a+2>0, ossia se a>-2, abbiamo un prodotto tra un infinitesimo ed un termine finito (le eventuali direzioni \theta lungo cui la funzione non è definita vanno escluse a priori). Il limite vale zero.

Ricordandoci poi della limitazione imposta dal caso in questione, concludiamo che il limite è nullo per a>0.


Da ultimo consideriamo il caso a<0.

Procediamo per confronto, considerando

\left|\frac{\sin(x^{3a}y^2)}{x^{2a}+y^{2a}}\right|=

Applichiamo le ormai note proprietà del valore assoluto, riscriviamo il rapporto ed infine maggioriamolo tenendo conto del fatto che la funzione seno è una funzione limitata

=\frac{|\sin(x^{3a}y^2)|}{|x^{2a}+y^{2a}|}\leq \frac{1}{|x^{2a}+y^{2a}|}=

Non ci resta che riscrivere il rapporto maggiorante come

=\frac{1}{|\frac{1}{x^{-2a}}+\frac{1}{y^{-2a}}|}

dove -2a>0. Anche qui tieni presente che le direzioni lungo cui il denominatore non è definito vanno escluse (x=0,\ y=0).

Si conclude così che il limite vale zero, in quanto rapporto tra una costante ed un infinito (per le regole relative agli infiniti e infinitesimi). Vale il solito suggerimento: se questo passaggio dovesse crearti dei dubbi, puoi tranquillamente passare in coordinate polari sul maggiorante.
Ringraziano: CarFaby, manu_ela_78

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90886

avt
manu_ela_78
Cerchio
Quindi il limite vale 0 indipendentemente dal parametro ?

Un altra cosa che non mi è chiara: ho studiato la teoria sul Bramanti che, devo dire, è fantastico perché ci sono un sacco di esempi svolti. L'autore nella soluzione degli esercizi insiste tantissimo sul fatto che, in coordinate polari l'unico modo per dimostrare che un limite ESISTE è di trovare una maggiorante radiale infinitesima (oppure non radiale ma continua in un intorno del punto dove si calcola il limite).

Altrimenti trovare UN valore del limite in coordinate polari equivale a trovare un valore del limite lungo una delle restrizioni ma non ci protegge dall'eventualità che il limite non esista. Il Bramanti al riguardo fa un sacco di esempi, insomma mi ha convinto.

Nel caso di questi due limiti che ho proposto (e scusate se sono puntigliosa ma devo capire fino in fondo anche se voi siete bravissimi, di sicuro è una mia carenza) perché non posso trovare una maggiorante nel caso di a>0?

Come mi metto al sicuro dalla possibilità che il limite non esista?

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90888

avt
Omega
Amministratore
Figurati, nessun problema! Fai bene a voler chiarire tutti i tuoi dubbi. emt

Riguardo alla prima domanda, sì.

Riguardo al successivo insieme di considerazioni, tieni presente che è corretto trovare un maggiorante radiale infinitesimo, ma è altrettanto valido trovare un equivalente radiale infinitesimo. In entrambi i casi puoi concludere che il limite vale zero.

Non solo: ti basta poter dimostrare che il limite della funzione espressa nel riferimento polare vale zero indipendentemente dal valore dell'angolo, il che vuol dire indipendentemente dalla direzione considerata.

Considera ad esempio

\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0

Questo limite vale ovviamente zero. Se passiamo in coordinate polari

\lim_{\rho\to 0}\rho^2[\sin(\theta)\cos(\theta)]=0

non c'è bisogno di maggiorare l'equivalente in coordinate polari, perché lo stesso passaggio in coordinate polari ci permette di capire che il limite vale zero.

La funzione equivalente in questo esempio non è radiale perché la sua espressione contiene \theta. Però il valore di \theta è ininfluente rispetto al risultato del limite: per ogni valore di \theta otteniamo sempre lo stesso risultato.

Inoltre, osserva che il ragionamento esposto qui e più in generale nella risoluzione degli esercizi è perfettamente in linea con

Altrimenti trovare UN valore del limite in coordinate polari equivale a trovare un valore del limite lungo una delle restrizioni ma non ci protegge dall'eventualità che il limite non esista.

Perché dunque conviene usare le coordinate polari, spesso e volentieri? Perché l'infinità delle possibili direzioni viene vincolata ad un unico valore (quello di \theta\in [0,2\pi)) che è più facile da analizzare, mentre in coordinate cartesiane le infinite direzioni hanno infiniti modi di essere espresse.
Ringraziano: manu_ela_78

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90891

avt
manu_ela_78
Cerchio
Ok!

Ho sempre pensato (fino ad oggi) che trovare un risultato in coordinate polari senza il confronto in modulo, mi potesse solo far concludere che, SE il limite esiste, allora vale 0.

Posso quindi andare oltre e dire: "il limite esiste e vale 0" se ovviamente riesco ad escludere la dipendenza dell'angolo?

Grazie mille di tutto (siete degli Eroi solo per tutte le formule in LaTeX che scrivete)!
Ringraziano: Omega

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90892

avt
Omega
Amministratore
Grazie a te. emt

Sai che non capisco la differenza tra quello che pensavi fino ad oggi e l'affermazione successiva?

In ogni caso occhio alle generalizzazioni: esistono anche i riferimenti in coordinate polari traslati. emt

Per toglierti ogni dubbio concentrati sull'esistenza: se trovi un risultato che non dipende dall'angolo/direzione, allora il limite esiste e ha tale valore.

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90893

avt
manu_ela_78
Cerchio
prima pensavo che siccome il limite se esiste è unico allora trovare un risultato in coordinate polari mi autorizzasse solo a concluderne il valore eventuale senza poter dire nulla sulla sua esistenza in generale, cioè "SE il limite esiste allora è 0".
Infatti non posso dedurre l'esistenza del limite in generale perchè ci sono casi in cui il risultato in coordinate polari viene 0 (non dipendente dalla direzione) ma in realtà il limite in due variabili non esiste !!
quindi SE esiste vale 0 perchè questo valore deve essere unico ma potrebbe anche non esistere !!
Scusate le ripetizioni

Ad esempio il limite (x,y)->(0,0) (x^2+y^2)\2x in coordinate polari il Rho a denominatore si semplifica e il limite viene 0 per Rho che tende a zero (il valore non dipende dall'angolo) ma è evidente che non esiste se considero y= (mx)^½ perché per x->0 dipende da m.

Capite dove mi confondo ?

Re: Limite in due variabili parametrico con seno #90898

avt
Omega
Amministratore
Temo che il discorso si stia ingarbugliando inutilmente... :(

Facciamo così: ti suggerisco di leggere (o eventualmente rileggere) la nostra guida al riguardo. Lì non ci sono possibilità di fraintendere. emt
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