Equazione goniometrica con confronto tra coseni

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Equazione goniometrica con confronto tra coseni #90861

avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho questa equazione goniometrica con un confronto tra coseni. Vorrei anche sapere se, in questo caso, è possibile applicare il metodo della normalizzazione.

\cos \left(2x+\frac{\pi}{10}\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)

Grazie e saluti
 
 

Equazione goniometrica con confronto tra coseni #90864

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto47,

non sono sicurissimo di aver compreso cosa tu intenda con metodo della normalizzazione; per quanto ne sappia, è un procedimento che si applica alle sole equazioni goniometriche della forma

a\sin(x)+b(\cos(x))+c=0

e consiste nel normalizzare l'equazione dividendo entrambi i membri per \sqrt{a^2+b^2}

\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0

In ogni caso la nostra equazione è pacifica e richiede una risoluzione piuttosto standard. C'è solo un piccolo tranello da evitare.

\cos \left(2x+\frac{\pi}{10}\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)

Come spieghiamo nella seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche (c'è un paragrafo dedicato), l'erronea tentazione in un caso del genere indurrebbe a passare al confronto degli argomenti

2x+\frac{\pi}{10}=x-\frac{\pi}{5}

Sbagliato. Dobbiamo tenere conto della periodicità e del comportamento del coseno, e passare a

2x+\frac{\pi}{10}=\pm\left(x-\frac{\pi}{5}\right)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.

Nel primo caso otteniamo

2x+\frac{\pi}{10}=x-\frac{\pi}{5}+2k\pi

da cui

x=-\frac{3}{10}\pi+2k\pi

Nel secondo caso otteniamo

2x+\frac{\pi}{10}=-\left(x-\frac{\pi}{5}\right)+2k\pi

da cui

2x+\frac{\pi}{10}=-x+\frac{\pi}{5}+2k\pi

e quindi

x=\frac{\pi}{30}+\frac{2}{3}k\pi

È tutto. emt
Ringraziano: CarFaby, gcappellotto47

Equazione goniometrica con confronto tra coseni #90865

avt
gcappellotto47
Cerchio
Per quanto riguarda la normalizzazione è proprio quello che intendevo; chiedevo solo per una conferma; grazie.
Ringraziano: Omega
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Os