Problema con triangolo isoscele, semicirconferenza e incognita

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Problema con triangolo isoscele, semicirconferenza e incognita #90839

avt
gcappellotto47
Cerchio
Propongo il seguente problema di Geometria con un triangolo isoscele, una semicirconferenza e un'incognita da calcolare mediante un'equazione.

Sia dato un triangolo isoscele con angoli alla base di 30° e lati obliqui ciascuno di lunghezza AB=l. Tracciare una semicirconferenza di diametro pari alla lunghezza della base BC con centro sul punto medio della base stessa (la semicirconferenza viene tracciata nel semipiano che non contiene il triangolo).

Si ponga P\hat{B}C=x e si determini sulla semicirconferenza un punto P tale che si abbia

7PB^2+7PC^2=12AP^2

Grazie e saluti
 
 

Re: Problema con triangolo isoscele, semicirconferenza e incognita #90848

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto47,

in questo genere di problemi la Trigonometria la fa da padrone. emt

Partiamo dal disegno (puramente indicativo)

triangolo isoscele con semicirconferenza

e dai dati

\begin{cases}AB=BC=\ell\\ A\hat{B}C=A\hat{C}B=30^o\\ P\hat{B}C=x\end{cases}

La richiesta del problema: individuare x affinché valga la relazione

7PB^2+7PC^2=12AP^2

La prima cosa da fare è determinare la lunghezza della base del triangolo isoscele. Osservando che l'angolo al vertice deve misurare 120°, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°

B\hat{A}C=180^o-(30^o+30^o)=120^o

possiamo conseguire agilmente l'obiettivo usando il teorema del coseno

\\ BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos(B\hat{A}C)=\\ \\ =\ell^2+\ell^2-2\ell^2\cos(120^o)=\\ \\ =2\ell^2\left(1-\frac{1}{2}\right)=3\ell^2

da cui, estraendo la radice quadrata

BC=\sqrt{3}\ell

Ora dobbiamo accorgerci che, essendo BPC inscritto in una semicirconferenza, esso deve necessariamente essere un triangolo rettangolo.

Tale osservazione ci consente di usare i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli:

\\ BP=BC\cos(x)=\sqrt{3}\ell\cos(x)\\ \\ CP=BC\sin(x)=\sqrt{3}\ell\sin(x)

Ci siamo quasi: abbiamo tutti gli elementi che compaiono nell'equazione, tranne la lunghezza di AP. Per calcolarla usiamo nuovamente il teorema del coseno applicandolo in questo caso al triangolo APB

\\ AP^2=AB^2+BP^2-2AB\cdot BP\cdot \cos(30^o+x)=\\ \\ \ell^2+3\ell^2-2\sqrt{3}\ell^2 \cos(30^o+x)=

Sviluppiamo il coseno della somma con la relativa formula di addizione degli archi

=\ell^2+3\ell^2-2\sqrt{3}\ell^2 \left(\cos(30^o)\cos(x)-\sin(30^o)\sin(x)\right)=

Tenendo presenti i valori notevoli delle funzioni goniometriche

=\ell^2+3\ell^2-2\sqrt{3}\ell^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)-\frac{1}{2}\sin(x)\right)=

Con un paio di semplici conticini arriviamo a

AP^2=\ell^2(1+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x))

Nota che l'utilizzo del teorema del coseno è perfetto per i nostri scopi, perché nell'equazione compare proprio il termine AP^2. emt

Ora sostituiamo il tutto nell'equazione

7PB^2+7PC^2=12AP^2

Così facendo otteniamo l'equazione goniometrica

21\ell^2\cos^2(x)+21\ell^2\sin(x)=12\ell^2(1+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x))

Semplifichiamo per 3\ell^2 e a primo membro utilizziamo l'identità fondamentale della Trigonometria (formule goniometriche)

7=4(1+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x))

Da qui arriviamo a

\sin(x)\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}

Per concludere possiamo usare le formule di duplicazione al contrario e riscrivere il primo membro nella seguente forma

\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{\sqrt{3}}{4}

da cui

\sin(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Poiché x è un angolo acuto di un triangolo rettangolo, la naturale limitazione è data da 0<x<90^o (estremi rigorosamente esclusi - sono i casi limite), e quindi

0<2x<180^o

Tutto torna perché la precedente equazione ammette come soluzione

2x=60^o\ \to\ x=30^o
Ringraziano: CarFaby
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Os