Continuità di una funzione a tratti con 2 parametri

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Continuità di una funzione a tratti con 2 parametri #90827

avt
judd79
Cerchio
Vi scrivo per un esercizio sulla continuità di una funzione definita a tratti e con due parametri.

Per quali valori di a,\ b\in\mathbb{R} la seguente funzione è continua?

f(x)=\begin{cases}ax^2+b&\mbox{se} \ x\geq 0\\ \log(ax+b)&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

Grazie mille.
 
 

Re: Continuità di una funzione a tratti con 2 parametri #90834

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

questo esercizio è un classico, e a titolo di cronaca qui su YM è anche presente una selezione di esercizi risolti sulla continuità con parametri.

Qui però c'è un po' di lavoro preliminare da fare e riguarda il dominio della funzione, perché i due parametri definiscono l'argomento del logaritmo.

f(x)=\begin{cases}ax^2+b\mbox{ per }x\geq 0\\ \log(ax+b)\mbox{ per }x<0\end{cases}

L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi consideriamo la condizione

ax+b>0

Questa disequazione di primo grado va studiata discriminando i possibili valori del parametro a

\begin{cases}a=0\ \to\ b>0\\ a>0\ \to\ x>-\frac{b}{a}\\ a<0\ \to\ x<-\frac{b}{a}\end{cases}

Nota che nel secondo caso, affinché la definizione di f(x) abbia senso ed in riferimento all'intervallo di riferimento (x<0), deve essere

-\frac{b}{a}<0\ \ \ (\bullet)

in modo che il ramo di sinistra sia definito su

-\frac{b}{a}<x<0

D'altra parte la condizione (\bullet) si verifica a patto che

\frac{b}{a}>0

ossia, in accordo con la regola dei segni, essendo a>0 se b>0.

Nel caso della terza condizione a<0 per far sì che la funzione sia bene definita deve essere

-\frac{b}{a}>0

ossia b>0.

In definitiva, le condizioni da richiedere sui parametri per l'esistenza della funzione sono i seguenti

a=0\mbox{ e }b>0 \mbox{ oppure }a>0\mbox{ e }b>0\mbox{ oppure }a<0\mbox{ e }b>0

In simboli

(a=0\wedge b>0) \vee (a>0\wedge b>0)\vee (a<0\wedge b>0)

e volendo scrivere il tutto in un'unica condizione

\forall a\wedge b>0

Ora possiamo procedere con lo studio della continuità della funzione nel punto. Osserva che i due rami della funzione sono continui, dunque l'unico punto che richiede un'analisi approfondita è x=0.

In riferimento alla condizione di continuità nel punto, i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti e coincidere con il valore assunto dalla funzione nel punto. Attenzione a scegliere correttamente i rami nel calcolo dei limiti e nella valutazione!

\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\log(ax+b)=\log(b)\\ \\ \\ f(0)=a(0)^2+b=b\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(ax^2+b)=b

Per avere continuità nel punto dobbiamo imporre l'uguaglianza

b=\log(b)

Qui abbiamo a che fare con un'equazione trascendente (per approfondire, puoi leggere qui: disequazioni trascendenti). Non possiamo risolverla algebricamente, ma possiamo ricorrere al metodo grafico riscrivendola come

e^b=b

e confrontare i grafici, in modo da individuare le soluzioni come ascisse dei punti di intersezione dei grafici di y=e^b (funzione esponenziale) e y=b (bisettrice del primo e del terzo quadrante).

confronto grafico esponenziale bisettrice

Dal confronto grafico si vede che la condizione non può essere soddisfatta per alcun valore di b, quindi la funzione non può essere continua nel punto x=0.
Ringraziano: CarFaby
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Os