Continuità di una funzione a tratti con 2 parametri

Vi scrivo per un esercizio sulla continuità di una funzione definita a tratti e con due parametri.

Per quali valori di la seguente funzione è continua?



Grazie mille.

Ciao Judd79,

questo esercizio è un classico, e a titolo di cronaca qui su YM è anche presente una selezione di esercizi risolti sulla continuità con parametri.

Qui però c'è un po' di lavoro preliminare da fare e riguarda il dominio della funzione, perché i due parametri definiscono l'argomento del logaritmo.



L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi consideriamo la condizione



Questa disequazione di primo grado va studiata discriminando i possibili valori del parametro



Nota che nel secondo caso, affinché la definizione di abbia senso ed in riferimento all'intervallo di riferimento , deve essere



in modo che il ramo di sinistra sia definito su



D'altra parte la condizione si verifica a patto che



ossia, in accordo con la regola dei segni, essendo se .

Nel caso della terza condizione per far sì che la funzione sia bene definita deve essere



ossia .

In definitiva, le condizioni da richiedere sui parametri per l'esistenza della funzione sono i seguenti



In simboli



e volendo scrivere il tutto in un'unica condizione



Ora possiamo procedere con lo studio della continuità della funzione nel punto. Osserva che i due rami della funzione sono continui, dunque l'unico punto che richiede un'analisi approfondita è .

In riferimento alla condizione di continuità nel punto, i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti e coincidere con il valore assunto dalla funzione nel punto. Attenzione a scegliere correttamente i rami nel calcolo dei limiti e nella valutazione!



Per avere continuità nel punto dobbiamo imporre l'uguaglianza



Qui abbiamo a che fare con un'equazione trascendente (per approfondire, puoi leggere qui: disequazioni trascendenti). Non possiamo risolverla algebricamente, ma possiamo ricorrere al metodo grafico riscrivendola come



e confrontare i grafici, in modo da individuare le soluzioni come ascisse dei punti di intersezione dei grafici di (funzione esponenziale) e (bisettrice del primo e del terzo quadrante).


Dal confronto grafico si vede che la condizione non può essere soddisfatta per alcun valore di , quindi la funzione non può essere continua nel punto .