Calcolo e studio del segno della derivata seconda

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Calcolo e studio del segno della derivata seconda #90826

avt
judd79
Cerchio
Questa traccia di esercizio mi chiede di calcolare la derivata seconda di una funzione e di studiarne il segno:

f(x) = (log(x))/(log^2(x)+2)

Grazie in anticipo.
 
 

Calcolo e studio del segno della derivata seconda #90852

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

innanzitutto determiniamo il dominio della funzione.

L'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza del logaritmo, perché il denominatore è dato dalla somma di un quadrato e di un termine positivo

Dom(f) = (0,+∞)

Calcoliamo la derivata prima usando la regola di derivazione del rapporto e al contempo il teorema per la derivata della funzione composta

f'(x) = ((1)/(x)·[log^2(x)+2]-log(x)·[2log(x)·(1)/(x)])/([log^2(x)+2]^2) = (log^2(x)+2-2log^2(x))/(x[log^2(x)+2]^2) = (-log^2(x)+2)/(x[log^2(x)+2]^2)

Da qui si vede facilmente che non ci sono punti da escludere da Dom(f') oltre a quelli che abbiamo già escluso per Dom(f').

Procediamo con il calcolo della derivata seconda: stessa storia, stesso posto, stesso bar, serve solo un po' di attenzione in più

f''(x) = (-2log(x)·(1)/(x)·[x(log^2(x)+2)^2])/(x^2[log^2(x)+2]^4)+

-([-log^2(x)+2]·[(log^2(x)+2]^2+x·2(log^2(x)+2)·2log(x)·(1)/(x))/(x^2[log^2(x)+2]^4)


Sviluppando a mano questi calcoli noiosissimi - noiosi, ma non difficili - si giunge all'espressione della derivata seconda

f''(x) = (log^4(x)+2log^3(x)-12log(x)-4)/(x^2[log^2(x)+2]^3)

Il che ci rimanda allo studio del segno della derivata seconda

f'(x) ≥ 0

Qui ci conviene notare sin da subito che il denominatore è una quantità positiva sul dominio della funzione, quindi lo studio del segno si riduce a

log^4(x)+2log^3(x)-12log(x)-4 ≥ 0

Ohi ohi: questa disequazione di grado superiore al secondo non è scomponibile, nemmeno con Ruffini.

Il "problema" è che si tratta di una disequazione trascendente e non possiamo determinarne algebricamente le soluzioni. Procediamo nel modo seguente: effettuiamo la sostituzione y = log(x)

y^4+2y^3-12y-4 ≥ 0

e consideriamo la disequazione come un confronto tra grafici

y^4+2y^3 ≥ 12y+4

Tutte e sole le soluzioni della disequazione sono i valori di y per i quali il grafico di z = y^4+2y^3 si trova al di sopra del grafico di z = 12y+4.

Il grafico della seconda funzione è una retta e puoi disegnarlo molto velocemente; il grafico della prima lo puoi desumere con un banalissimo studio di funzione ridotto all'osso. Tieni presente che ci basta un'approssimazione delle soluzioni della disequazione, quindi è sufficiente disporre di informazioni sommarie.

confronto grafico per disequazione trascendente

Da qui deduciamo che la disequazione ammette come soluzioni

y < α_1 ∨ y > α_2

dove α_1 < 0, α_2 > 0. Torniamo alla variabile originaria

log(x) < α_1 ∨ log(x) > α_2

e risolvendo le rispettive disequazioni logaritmiche

x < e^(α_1) ∨ x > e^(α_2)

dove e^(α_1) > 0, e^(α_2) > 0. Non dimentichiamoci della restrizione imposta dal dominio

0 < x < e^(α_1) ∨ x > e^(α_2)

Da qui deduciamo che f(x) è:

- convessa per 0 < x < e^(α_1);

- concava per e^(α_1) < x < e^(α_2);

- convessa per x > e^(α_2);

e che dunque x = e^(α_1), x = e^(α_2) sono punti di flesso. emt

FYI, il grafico della funzione

grafico funzione 2 punti di flesso
Ringraziano: CarFaby
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Os