Calcolo e studio del segno della derivata seconda

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Calcolo e studio del segno della derivata seconda #90826

avt
judd79
Cerchio
Questa traccia di esercizio mi chiede di calcolare la derivata seconda di una funzione e di studiarne il segno:

f(x)=\frac{\log(x)}{\log^2(x)+2}

Grazie in anticipo.
 
 

Calcolo e studio del segno della derivata seconda #90852

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

innanzitutto determiniamo il dominio della funzione.

L'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza del logaritmo, perché il denominatore è dato dalla somma di un quadrato e di un termine positivo

Dom(f)=(0,+\infty)

Calcoliamo la derivata prima usando la regola di derivazione del rapporto e al contempo il teorema per la derivata della funzione composta

\\ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot [\log^2(x)+2]-\log(x)\cdot\left[2\log(x)\cdot \frac{1}{x}\right]}{[\log^2(x)+2]^2}=\\ \\ \\ =\frac{\log^2(x)+2-2\log^2(x)}{x[\log^2(x)+2]^2}=\frac{-\log^2(x)+2}{x[\log^2(x)+2]^2}

Da qui si vede facilmente che non ci sono punti da escludere da Dom(f') oltre a quelli che abbiamo già escluso per Dom(f').

Procediamo con il calcolo della derivata seconda: stessa storia, stesso posto, stesso bar, serve solo un po' di attenzione in più

\\ f''(x)=\frac{-2\log(x)\cdot \frac{1}{x}\cdot [x(\log^2(x)+2)^2]}{x^2[\log^2(x)+2]^4}+

-\frac{[-\log^2(x)+2]\cdot [(\log^2(x)+2]^2+x\cdot 2(\log^2(x)+2)\cdot 2\log(x)\cdot \frac{1}{x}}{x^2[\log^2(x)+2]^4}


Sviluppando a mano questi calcoli noiosissimi - noiosi, ma non difficili - si giunge all'espressione della derivata seconda

f''(x)=\frac{\log^4(x)+2\log^3(x)-12\log(x)-4}{x^2[\log^2(x)+2]^3}

Il che ci rimanda allo studio del segno della derivata seconda

f'(x)\geq 0

Qui ci conviene notare sin da subito che il denominatore è una quantità positiva sul dominio della funzione, quindi lo studio del segno si riduce a

\log^4(x)+2\log^3(x)-12\log(x)-4\geq 0

Ohi ohi: questa disequazione di grado superiore al secondo non è scomponibile, nemmeno con Ruffini.

Il "problema" è che si tratta di una disequazione trascendente e non possiamo determinarne algebricamente le soluzioni. Procediamo nel modo seguente: effettuiamo la sostituzione y=\log(x)

y^4+2y^3-12y-4\geq 0

e consideriamo la disequazione come un confronto tra grafici

y^4+2y^3\geq 12y+4

Tutte e sole le soluzioni della disequazione sono i valori di y per i quali il grafico di z=y^4+2y^3 si trova al di sopra del grafico di z=12y+4.

Il grafico della seconda funzione è una retta e puoi disegnarlo molto velocemente; il grafico della prima lo puoi desumere con un banalissimo studio di funzione ridotto all'osso. Tieni presente che ci basta un'approssimazione delle soluzioni della disequazione, quindi è sufficiente disporre di informazioni sommarie.

confronto grafico per disequazione trascendente

Da qui deduciamo che la disequazione ammette come soluzioni

y<\alpha_1\ \vee\ y>\alpha_2

dove \alpha_1<0,\ \alpha_2>0. Torniamo alla variabile originaria

\log(x)<\alpha_1\ \vee\ \log(x)>\alpha_2

e risolvendo le rispettive disequazioni logaritmiche

x<e^{\alpha_1}\ \vee\ x>e^{\alpha_2}

dove e^{\alpha_1}>0,\ e^{\alpha_2}>0. Non dimentichiamoci della restrizione imposta dal dominio

0<x<e^{\alpha_1}\ \vee\ x>e^{\alpha_2}

Da qui deduciamo che f(x) è:

- convessa per 0<x<e^{\alpha_1};

- concava per e^{\alpha_1}<x<e^{\alpha_2};

- convessa per x>e^{\alpha_2};

e che dunque x=e^{\alpha_1},\ x=e^{\alpha_2} sono punti di flesso. emt

FYI, il grafico della funzione

grafico funzione 2 punti di flesso
Ringraziano: CarFaby
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Os