Calcolo dei primi tre termini del polinomio di Taylor

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#90824
avt
judd79
Cerchio

Ciao, devo scrivere i primi tre termini del polinomio di Taylor centrato in x=1 della funzione

f(x) = (x)/(arctan(x))

Grazie

#90835
avt
Amministratore

Ciao judd7,

il polinomio di Taylor di una funzione f(x) nell'intorno di un punto x_0, se abbiamo a che fare con una funzione derivabile con continuità infinite volte nel punto x_0, è dato da

f(x) = Σ_(n = 0)^(∞)(f^(n)(x_0))/(n!)(x−x_0)^n

dove:

f^(n)(x_0) indica la valutazione della derivata n-esima della funzione f(x) nel punto x = x_0

n! è il fattoriale di n.

Ora, la funzione in esame è

f(x) = (x)/(arctan(x))

e dobbiamo scrivere i primi tre termini del polinomio di Taylor centrato in x_0 = 1.

Il primo termine di tale polinomio è

(f^(0)(1))/(0!)(x−1)^0

Poiché 0! = (x−1)^0 = 1 il primo termine si riduce a

f^(0)(1)

ossia basta valutare la funzione f(x) nel punto 1.

Ricordando quanto vale l'arcotangente di 1 abbiamo:

f(1) = (1)/(arctan(1)) = (4)/(π)

Quindi (4)/(π) è il primo termine del polinomio di Taylor cercato.

Il secondo termine è invece dato da

(f^(1)(1))/(1!)(x−1)^1

dove f^(1) indica la derivata prima della funzione f.

Dobbiamo quindi calcolare f'(x). Dal momento che

f(x) = (x)/(arctan(x))

si presenta sotto forma di un rapporto usiamo la regola per il calcolo della derivata di un rapporto.

Posto

g(x) = x e h(x) = arctan(x)

si ha

f'(x) = (g'(x)·h(x)−g(x)·h'(x))/(h^2(x))

Calcoliamo quindi dapprima le due derivate di g(x) ed h(x):

 g(x) = x → g'(x) = 1 ; h(x) = arctan(x) → h'(x) = (1)/(x^2+1)

In caso di dubbi: derivata dell'arcotangente - click!

Sostituendo nella formula precedente abbiamo

 f'(x) = (g'(x)·h(x)−g(x)·h'(x))/(h^2(x)) = (1·arctan(x)−x·(1)/(x^2+1))/(arctan^2(x)) = (arctan(x)−(x)/(x^2+1))/(arctan^2(x))

Dobbiamo ora valutare tale funzione nel punto x=1

 f'(1) = (arctan(1)−(1)/(1^2+1))/(arctan^2(1)) = ((π)/(4)−(1)/(2))/((π^2)/(16)) = ((π)/(4)−(1)/(2))·(16)/(π^2) = (π−2)/(4) = (4(π−2))/(π^2)

Sostituendo nell'espressione

(f^(1)(1))/(1!)(x−1)^1

otteniamo il secondo termine del polinomio che è dato da

(4(π−2))/(π^2) (x−1)

Infine, il terzo termine del polinomio di Taylor è

(f^(2)(1))/(2!)(x−1)^2

Procediamo allora al calcolo della derivata seconda della funzione f che valuteremo nel punto x=1.

Partendo da

f'(x) = (arctan(x)−(x)/(x^2+1))/(arctan^2(x))

calcoliamo la derivata seconda di f come derivata della derivata prima.

Essendo ancora di fronte ad un rapporto poniamo

g(x) = arctan(x)−(x)/(x^2+1) e h(x) = arctan^2(x)

e procediamo al calcolo delle derivate di queste due funzioni

 g'(x) = (1)/(x^2+1)−(1·(x^2+1)−x·2x)/((x^2+1)^2) = (x^2+1−x^2−1+2x^2)/((x^2+1)^2) = (2x^2)/((x^2+1)^2) ; h'(x) = 2arctan(x)·(1)/(x^2+1) = (2arctan(x))/(x^2+1)

Per il calcolo di h'(x) occorre tener presente la regola per il calcolo della derivata di una funzione composta.

Alla luce di ciò

 f''(x) = (g'(x)·h(x)−g(x)·h'(x))/(h^2(x)) = ((2x^2)/((x^2+1)^2)·arctan^2(x)−[(arctan(x)−(x)/(x^2+1))·(2 arctan(x))/(x^2+1) ])/(arctan^4(x))

Ora, è inutile perder tempo a svolgere ulteriori conti, tanto a noi serve la valutazione di tale funzione nel punto x=1.

 f''(1) = ((2)/((2)^2)·arctan^2(1)−[(arctan(1)−(1)/(1+1))·(2 arctan(1))/(1+1) ])/(arctan^4(1)) = ((1)/(2)·(π^2)/(16)−[((π)/(4)−(1)/(2))·(π)/(4)])/((π^4)/(4^4)) = ((π^2)/(32)−(π^2)/(16)+(π)/(8))·(256)/(π^4) = (−π^2+4π)/(32)·(256)/(π^4) = π(4−π)·(8)/(π^4) = (8(4−π))/(π^3)

Sostituendo in

(f^(2)(1))/(2!)(x−1)^2

ricaviamo il terzo termine del polinomio di Taylor

((8(4−π))/(π^3))/(2)(x−1)^2 = (4(4−π))/(π^3)(x−1)^2

Riassumendo, i primi tre termini del polinomio di Taylor centrato in x=1 della funzione

f(x) = (x)/(arctan(x))

sono:

(4)/(π), (4(π−2))/(π^2)(x−1), (4(π−4))/(π^3)(x−1)^2

Ringraziano: CarFaby, Wytos
#90840
avt
judd79
Cerchio

Scusa ma il primo termine non sarà (1)/((π)/(4)) ?

#90844
avt
Galois
Amministratore

Esattamente, ma

(1)/((π)/(4)) = (4)/(π)

In caso di dubbi vedi frazione di una frazione. emt

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