Calcolo dei primi tre termini del polinomio di Taylor

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#90824

judd79

Cerchio

Ciao, devo scrivere i primi tre termini del polinomio di Taylor centrato in x=1 della funzione

Grazie

#90835

Galois

Amministratore

Ciao judd7,

il polinomio di Taylor di una funzione nell'intorno di un punto , se abbiamo a che fare con una funzione derivabile con continuità infinite volte nel punto , è dato da

f(x) = Σ_(n = 0)^(∞)(f^(n)(x_0))/(n!)(x−x_0)^n

dove:

indica la valutazione della derivata n-esima della funzione f(x) nel punto

n! è il fattoriale di n.

Ora, la funzione in esame è

e dobbiamo scrivere i primi tre termini del polinomio di Taylor centrato in

Il primo termine di tale polinomio è

Poiché il primo termine si riduce a

ossia basta valutare la funzione f(x) nel punto 1.

Ricordando quanto vale l'arcotangente di 1 abbiamo:

Quindi è il primo termine del polinomio di Taylor cercato.

Il secondo termine è invece dato da

dove indica la derivata prima della funzione f.

Dobbiamo quindi calcolare f'(x). Dal momento che

si presenta sotto forma di un rapporto usiamo la regola per il calcolo della derivata di un rapporto.

Posto

si ha

Calcoliamo quindi dapprima le due derivate di g(x) ed h(x):

g(x) = x → g'(x) = 1 ; h(x) = arctan(x) → h'(x) = (1)/(x^2+1)

In caso di dubbi: derivata dell'arcotangente - click!

Sostituendo nella formula precedente abbiamo

f'(x) = (g'(x)·h(x)−g(x)·h'(x))/(h^2(x)) = (1·arctan(x)−x·(1)/(x^2+1))/(arctan^2(x)) = (arctan(x)−(x)/(x^2+1))/(arctan^2(x))

Dobbiamo ora valutare tale funzione nel punto x=1

f'(1) = (arctan(1)−(1)/(1^2+1))/(arctan^2(1)) = ((π)/(4)−(1)/(2))/((π^2)/(16)) = ((π)/(4)−(1)/(2))·(16)/(π^2) = (π−2)/(4) = (4(π−2))/(π^2)

Sostituendo nell'espressione

otteniamo il secondo termine del polinomio che è dato da

Infine, il terzo termine del polinomio di Taylor è

Procediamo allora al calcolo della derivata seconda della funzione f che valuteremo nel punto x=1.

Partendo da

calcoliamo la derivata seconda di f come derivata della derivata prima.

Essendo ancora di fronte ad un rapporto poniamo

e procediamo al calcolo delle derivate di queste due funzioni

g'(x) = (1)/(x^2+1)−(1·(x^2+1)−x·2x)/((x^2+1)^2) = (x^2+1−x^2−1+2x^2)/((x^2+1)^2) = (2x^2)/((x^2+1)^2) ; h'(x) = 2arctan(x)·(1)/(x^2+1) = (2arctan(x))/(x^2+1)

Per il calcolo di occorre tener presente la regola per il calcolo della derivata di una funzione composta.

Alla luce di ciò

f''(x) = (g'(x)·h(x)−g(x)·h'(x))/(h^2(x)) = ((2x^2)/((x^2+1)^2)·arctan^2(x)−[(arctan(x)−(x)/(x^2+1))·(2 arctan(x))/(x^2+1) ])/(arctan^4(x))

Ora, è inutile perder tempo a svolgere ulteriori conti, tanto a noi serve la valutazione di tale funzione nel punto x=1.

f''(1) = ((2)/((2)^2)·arctan^2(1)−[(arctan(1)−(1)/(1+1))·(2 arctan(1))/(1+1) ])/(arctan^4(1)) = ((1)/(2)·(π^2)/(16)−[((π)/(4)−(1)/(2))·(π)/(4)])/((π^4)/(4^4)) = ((π^2)/(32)−(π^2)/(16)+(π)/(8))·(256)/(π^4) = (−π^2+4π)/(32)·(256)/(π^4) = π(4−π)·(8)/(π^4) = (8(4−π))/(π^3)