Condizioni di esistenza e studio della crescenza di una funzione con logaritmo

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Condizioni di esistenza e studio della crescenza di una funzione con logaritmo #90823

avt
judd79
Cerchio
Ciao, devo trovare le condizioni di esistenza e studiare crescenza e decrescenza della funzione

f(x)=x^2\left(\log(x)-1\right)

Grazie
 
 

Re: Condizioni di esistenza e studio della crescenza di una funzione con logaritmo #90837

avt
Galois
Coamministratore
Rieccoci emt

Il dominio della funzione

f(x)=x^2\left(\log(x)-1\right)

si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo, quindi

Dom(f)=(0,+\infty)

Passiamo ora allo studio di crescenza e decrescenza con la derivata prima.

La funzione si presenta sotto forma di prodotto. Posto

g(x)=x^2 \ \mbox{ e } \ h(x)=\log(x)-1

per la regola di derivazione di un prodotto si ha

f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

Ora,

\\ g'(x)=2x \\ \\ h'(x)=\frac{1}{x}

Pertanto

\\ f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) = \\ \\ = 2x \cdot \left(\log(x)-1\right)+x^2 \cdot \frac{1}{x} = \\ \\ = 2x\log(x)-2x+x = 2x\log(x)-x = x \left(2\log(x)-1\right)

Per trovare gli intervalli dove la funzione è crescente/decrescente occorre studiare il segno della derivata prima.

x \left(2\log(x)-1\right) \ge 0

Siamo di fronte ad una disequazione da risolvere con la regola dei segni per le disequazioni.

Imponiamo allora che i due fattori siano positivi

\\ x\ge 0 \\ \\ 2\log(x)-1 \ge 0

La prima disequazione è già risolta, la seconda è una disequazione logaritmica

\\ 2\log(x)-1 \ge 0 \iff \log(x)\ge \frac{1}{2} \\ \\ \iff x \ge e^{\frac{1}{2}} \iff x\ge \sqrt{e}

Riportiamo i risultati in una tabella per lo studio del segno ricordando che per x<0 la funzione non è definita.

crescenza e decrescenza


Possiamo così concludere che la funzione è crescente nell'intervallo

[\sqrt{e},+\infty)

e decrescente nell'intervallo

(1,\sqrt{e})

È tutto! ;)
Ringraziano: CarFaby
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Os