Condizioni di esistenza e studio della crescenza di una funzione con logaritmo

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#90823
avt
judd79
Cerchio

Ciao, devo trovare le condizioni di esistenza e studiare crescenza e decrescenza della funzione

f(x) = x^2(log(x)−1)

Grazie

#90837
avt
Galois
Amministratore

Rieccoci emt

Il dominio della funzione

f(x) = x^2(log(x)−1)

si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo, quindi

Dom(f) = (0,+∞)

Passiamo ora allo studio di crescenza e decrescenza con la derivata prima.

La funzione si presenta sotto forma di prodotto. Posto

g(x) = x^2 e h(x) = log(x)−1

per la regola di derivazione di un prodotto si ha

f'(x) = g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)

Ora,

g'(x) = 2x ; h'(x) = (1)/(x)

Pertanto

f'(x) = g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x) = 2x·(log(x)−1)+x^2·(1)/(x) = 2xlog(x)−2x+x = 2xlog(x)−x = x (2log(x)−1)

Per trovare gli intervalli dove la funzione è crescente/decrescente occorre studiare il segno della derivata prima.

x (2log(x)−1) ≥ 0

Siamo di fronte ad una disequazione da risolvere con la regola dei segni per le disequazioni.

Imponiamo allora che i due fattori siano positivi

x ≥ 0 ; 2log(x)−1 ≥ 0

La prima disequazione è già risolta, la seconda è una disequazione logaritmica

2log(x)−1 ≥ 0 ⇔ log(x) ≥ (1)/(2) ; ⇔ x ≥ e^((1)/(2)) ⇔ x ≥ √(e)

Riportiamo i risultati in una tabella per lo studio del segno ricordando che per x < 0 la funzione non è definita.

crescenza e decrescenza

Possiamo così concludere che la funzione è crescente nell'intervallo

[√(e),+∞)

e decrescente nell'intervallo

(1,√(e))

È tutto! ;)

Ringraziano: CarFaby
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