Asintoti di una funzione prodotto con esponenziale

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Asintoti di una funzione prodotto con esponenziale #90822

avt
judd79
Cerchio
Vi chiedo aiuto per un esercizio sul dominio, sui limiti e sugli asintoti di una funzione prodotto con un termine esponenziale.

f(x) = (x-1)e^((2x+1)/(x+1))

Grazie anticipatamente!
 
 

Re: Asintoti di una funzione prodotto con esponenziale #90836

avt
Omega
Amministratore
Rieccoci Judd79,

consideriamo la funzione

f(x) = (x-1)e^((2x+1)/(x+1))

e partiamo dallo studio del dominio della funzione. L'unica condizione da imporre qui riguarda l'annullamento del denominatore del termine esponenziale

x+1 ≠ 0 → x ≠-1

Ne deduciamo che il dominio è dato da

Dom(f) = (-∞,-1) U (-1,+∞)

Ora possiamo passare allo studio dei limiti agli estremi del dominio e, conseguentemente, degli asintoti.

lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)(x-1)e^((2x+1)/(x+1))

Da una semplice analisi per confronto tra infiniti possiamo dedurre la seguente equivalenza asintotica

(x-1)e^((2x+1)/(x+1)) ~ _(x → -∞)xe^((2x)/(x)) = xe^2

di conseguenza

lim_(x → -∞)f(x) = -∞

Ora dobbiamo controllare se la funzione presenta un asintoto obliquo per x → -∞.

Calcoliamo l'eventuale coefficiente angolare

 lim_(x → -∞)(f(x))/(x) = lim_(x → -∞)((x-1)e^((2x+1)/(x+1)))/(x) = lim_(x → -∞)(x-1)/(x)e^((2x+1)/(x+1)) = e^2

dove il risultato si ottiene ancora una volta per semplice confronto tra infiniti.

Passiamo al calcolo dell'ordinata all'origine impostando il limite

 lim_(x → -∞)[f(x)-mx] = lim_(x → -∞)[(x-1)e^((2x+1)/(x+1))-e^2x] =

Qui ci vuole un po' di lavoro algebrico

= lim_(x → -∞)[xe^((2x+1)/(x+1))-e^((2x+1)/(x+1))-e^2x] =

Riordiniamo

= lim_(x → -∞)[xe^((2x+1)/(x+1))-e^2x-e^((2x+1)/(x+1))] =

e raccogliamo un termine e^2x tra i primi due termini

= lim_(x → -∞)[e^2x((xe^((2x+1)/(x+1)))/(e^2x)-1)-e^((2x+1)/(x+1))] =

Usiamo le proprietà delle potenze

 = lim_(x → -∞)[e^2x(e^((2x+1)/(x+1)-2)-1)-e^((2x+1)/(x+1))] = lim_(x → -∞)[e^2x(e^((2x+1-2x-2)/(x+1))-1)-e^((2x+1)/(x+1))] = lim_(x → -∞)[e^2x(e^((-1)/(x+1))-1)-e^((2x+1)/(x+1))] = (•)

Poiché l'esponente tende a zero, possiamo applicare il limite notevole dell'esponenziale e la relativa equivalenza asintotica

e^((-1)/(x+1))-1 ~ _(x → -∞)-(1)/(x+1)

Quindi possiamo passare a calcolare il limite equivalente

 (•) = lim_(x → -∞)[e^2((-x)/(x+1))-e^((2x+1)/(x+1))]

Poiché

(-x)/(x+1) → _(x → -∞)-1

concludiamo che il limite vale

q = -e^2-e^2 = -2e^2

Osserviamo che questo limite non richiede l'utilizzo della tecnica di calcolo dei limiti con Taylor perché le funzioni coinvolte nella differenza non coincidono al primo ordine di sviluppo (altrimenti la differenza, applicando i limiti notevoli, sarebbe valsa zero).

In definitiva l'asintoto obliquo per x → -∞ esiste ed è dato da

y = e^2x-2e^2

Per x → +∞ con calcoli del tutto analoghi si trova che l'asintoto obliquo esiste ed è il medesimo.

Non ci resta che calcolare i limiti destro e sinistro per x → (-1), cominciando dal sinistro

lim_(x → (-1)^-)f(x) = lim_(x → (-1)^-)(x-1)e^((2x+1)/(x+1)) =

Grazie alle regole per infiniti ed infinitesimi, abbiamo

= [(-2)·e^((-3)/(0^-))] = [(-2)e^(+∞)]

per cui tenendo conto del comportamento della funzione esponenziale, il limite vale

lim_(x → (-1)^-)f(x) = -∞

Da destra, invece

 lim_(x → (-1)^+)f(x) = lim_(x → (-1)^+)(x-1)e^((2x+1)/(x+1)) =

ossia

= [(-2)·e^((-3)/(0^+))] = [(-2)e^(-∞)]

e concludiamo che il limite vale

lim_(x → (-1)^+)f(x) = 0

per cui x = -1 e un asintoto verticale sinistro per la funzione.


PS: a tuo uso e consumo, qui puoi tracciare il grafico della funzione - click!
Ringraziano: CarFaby
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Os