Limite con differenza di seni e coseni

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#90821
avt
judd79
Cerchio
Devo calcolare il seguente limite con una differenza di seni a numeratore ed una differenza di coseni a denominatore, come posso procedere?

lim_(x → 0)(sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2(cos^2(x)-cos(x^2)))
#90838
avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

premettiamo sin da subito che non c'è modo per calcolare questo limite se non ricorrendo ai limiti con Taylor o eventualmente al teorema di de l'Hopital.

lim_(x → 0)(sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2(cos^2(x)-cos(x^2)))

Questa tipologia di esercizi però è caratteristico e prevede la risoluzione mediante il metodo del calcolo dei limiti con Taylor. Prima o dopo ti consiglio caldamente una lettura della lezione del link, in cui vengono spiegati tutti i perché ed i percome della questione.

Premetto anche che la risoluzione dei limiti con Taylor prevede un abbondante uso degli o-piccoli, per cui richiamo sin da subito la definizione.

f si dice o-piccolo di g per x → L∈R, e si scrive f = o(g), se

lim_(x → L)(f(x))/(g(x)) = 0

In pratica la scrittura f = o(g) significa che per x → L∈R la funzione f genera un infinitesimo di ordine superiore a g nel momento in cui entrambe le funzioni siano infinitesime.

Consideriamo gli sviluppi di Taylor che ci serviranno nel calcolo del limite. Sarebbe buona norma ricordarli automaticamente, ma nel caso puoi sempre dare un'occhiata alla tabella dei principali sviluppi in serie di Taylor-Mc Laurin.

Il centro di sviluppo è ovviamente x = 0, ma a che ordine dobbiamo arrestare lo sviluppo?

Proviamo con il primo ordine successivo al primo ordine di sviluppo:

sin(x) = x-(x^3)/(6)+o(x^3) ; cos(x) = 1-(x^2)/(2)+o(x^2)

Ora calcoliamo gli sviluppi composti

sin^2(x) = (x-(x^3)/(6)+o(x^3)) =

e applichiamo la regola per il quadrato di un trinomio

= x^2+(x^6)/(36)+(o(x^3))^2-(x^4)/(3)-(x^3)/(3)o(x^3)+2xo(x^3) = (•)

Applichiamo le regole dell'algebra degli o-piccolo:

o(x^m)o(x^n) = o(x^(m+n)) ; x^mo(x^n) = o(x^(m+n)) ; costante·o(x^n) = o(x^n) ; o(x^m)+o(x^n) = o(x^n) se n ≤ m ; x^m+o(x^n) = o(x^n) se n ≤ m

dunque

(•) = x^2+(x^6)/(36)+o(x^6)-(x^4)/(3)-o(x^6)+o(x^4) = x^2+(x^6)/(36)-(x^4)/(3)+o(x^4) =

A noi interessa solamente lo sviluppo al secondo ordine non nullo, quindi fino al termine x^4. Tutto il resto lo inglobiamo nell'o-piccolo con esponente di grado inferiore possibile, nel nostro caso o(x^4)

sin^2(x) = x^2-(x^4)/(3)+o(x^4)

Procediamo in modo analogo con gli altri sviluppi composti

sin(x^2) = per sostituzione ; = x^2-(x^6)/(6)+o(x^6) ; cos^2(x) = (1-(x^2)/(2)+o(x^2))^2 = 1-x^2+(x^4)/(4)+2o(x^2)-x^2o(x^2)+o(x^2)^2 =

che grazie alle proprietà degli o-piccolo diventa

= 1-x^2+o(x^2) ; cos(x^2) = 1-(x^4)/(2)+o(x^4)

A questo punto sostituiamo il tutto nel limite

lim_(x → 0)(sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2(cos^2(x)-cos(x^2))) = lim_(x → 0)((x^2-(x^4)/(3)+o(x^4))-(x^2-(x^6)/(6)+o(x^6)))/(x^2[(1-x^2+o(x^2))-(1-(x^4)/(2)+o(x^4))]) =

In questo modo otteniamo

= lim_(x → 0)(x^2-(x^4)/(3)+o(x^4)-x^2+(x^6)/(6)-o(x^6))/(x^2(1-x^2+o(x^2)-1+(x^4)/(2)+o(x^4))) =

Qui vediamo in particolare cosa succede ai primi ordini di sviluppo: si cancellano nella differenza (ed è per questo motivo che la risoluzione con i limiti notevoli risulterebbe inefficace).

= lim_(x → 0)(-(x^4)/(3)+o(x^4)+(x^6)/(6)-o(x^6))/(x^2(-x^2+o(x^2)+(x^4)/(2)+o(x^4))) =

A noi interessano solamente gli infiniti di ordine inferiore: tutto il resto finisce negli o-piccolo con esponente minore

= lim_(x → 0)(-(x^4)/(3)+o(x^4))/(x^2(-x^2+o(x^2))) =

da cui

= lim_(x → 0)(-(x^4)/(3)+o(x^4))/(-x^4+o(x^4)) = +(1)/(3)

perché gli o-piccoli o(x^4), per definizione, sono infinitesimi di ordine superiore a x^4 e dunque trascurabili nel computo del limite.
Ringraziano: CarFaby, ~Alberto~
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