Studio funzione integrale con rapporto e valore assoluto

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Studio funzione integrale con rapporto e valore assoluto #90754

avt
giacomofisi
Punto
Posto un esercizio sullo studio di una funzione integrale con integranda data da un rapporto in cui compare un valore assoluto. È tratto da una prova di esame con il mio tentativo di risoluzione che ho adottato anche durante la prova (che è sicuramente sbagliato anche perchè ho preso 1/10).

La funzione da studiare (niente derivata seconda) è

F(x)=\int_{-1}^{x}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Re: Studio funzione integrale con rapporto e valore assoluto #90800

avt
Omega
Amministratore
Ciao GiacomoFisi,

ho preso visione del tuo tentativo di risoluzione: in questa sezione non è obbligatorio, ma hai fatto molto bene a riportarlo! emt

Ci sono diverse imprecisioni e, nel corso della risoluzione, cercherò di essere il più dettagliato possibile per far sì che tu possa capire dove e perché hai sbagliato.

Premetto che in questo genere di esercizi è fondamentale avere una piena dimestichezza con le equivalenze asintotiche.

F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt=\int_{-1}^{x}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

Partiamo dal dominio della funzione integrale. Le tue considerazioni sono essenzialmente corrette: si tratta di individuare i punti di discontinuità della funzione integranda

f(t)=\int_{-1}^{x}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})}

Dobbiamo ragionare sui valori che annullano il denominatore, ossia

\\ e^t-1\neq 0\ \to\ t\neq 0\\ \\ 10-e^{-t}\neq 0\ \to\ t\neq -\ln(10)

In entrambi i casi i valori si individuano risolvendo le rispettive equazioni esponenziali. A questo punto studiamo la convergenza degli integrali impropri corrispondenti:

x=0\ \to\ \int_{-1}^{0}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

Concentriamoci sull'integranda e usiamo il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie

\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})}\sim_{t\to 0}\frac{t^{\frac{1}{3}}}{9|t|}=\mbox{costante}\cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}

dove l'equivalenza asintotica deriva dal limite notevole dell'esponenziale. Il confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli ci dice quindi che l'integrale improprio converge.

Ne deduciamo che x=0 appartiene al dominio della funzione integrale e quindi è possibile procedere con le valutazioni di F(x) oltre tale punto, fino a +infinito.

Per quanto riguarda l'altro valore

x=-\ln(10)\ \to\ \int_{-1}^{-\ln(10)}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

Per essere precisi conviene usare una nota proprietà degli integrali, dopo aver osservato che -\ln(10)<-1

\int_{-1}^{-\ln(10)}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt=-\int_{-\ln(10)}^{-1}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

Ora ragioniamo sulla funzione integranda. Qui conviene lavorare algebricamente sul fattore del denominatore che genera la discontinuità e sfruttare la definizione di logaritmo

\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})}=\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(e^{\ln(10)}-e^{-t})}=

effettuiamo un piccolo raccoglimento sfruttando le proprietà delle potenze

\\ =\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|e^{\ln(10)}\left(1-\frac{e^{-t}}{e^{\ln(10)}}\right)}=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|e^{\ln(10)}(1-e^{-t-\ln(10)})}\sim_{t\to (-\ln(10))^+}

A questo punto possiamo sfruttare l'equivalenza asintotica che discende dal limite notevole dell'esponenziale. Non curiamoci di tutto quello che è asintoticamente equivalente ad una costante e che quindi non influisce sulla discontinuità

\sim \mbox{costante}\cdot \frac{1}{-(-t-\ln(10))}

e per confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli concludiamo che l'integrale diverge.

Da qui deduciamo che la funzione integrale F(x) non esiste in x=-\ln(10) e quindi nemmeno per i valori di ascissa inferiori. In sintesi:

Dom(F)=(-\ln(10),+\infty)

Per capire come avviene la divergenza effettuiamo sin da subito lo studio del segno della funzione integrale mediante lo studio del segno della funzione integranda. Sono informazioni che ci torneranno utili anche nel seguito

\\ f(t)\geq 0\\ \\ \frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})}\geq 0

Si tratta di una comunissima disequazione in cui dobbiamo studiare separatamente il segno dei singoli fattori:

\\ \sqrt[3]{t}\geq 0\ \to\ t\geq 0\\ \\ |e^t-1|> 0\ \forall t\neq 0

Il termine in valore assoluto è ovunque positivo, meno che in t=0, per definizione di modulo.

10-e^{-t}> 0\ \to\ t>-\ln(10)

Dal confronto tra i segni si deduce che l'integranda è negativa per -\ln(10)<t<0 e positiva per t>0.

Attenzione: la funzione integrale è certamente nulla in x=-1, per un'ovvia proprietà degli integrali definiti

F(-1)=\int_{-1}^{-1}f(t)dt=0

Sull'intervallo (-1,0) l'integranda è negativa e gli estremi di integrazione sono ordinati in modo crescente. Quindi la funzione integrale è negativa su (-1,0).

Sull'intervallo (-\ln(10),-1) invece dobbiamo riordinare gli estremi

F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt=-\int_{x}^{-1}f(t)dt

Essendo l'integranda negativa su tale intervallo, l'integrale con estremi ordinati è negativo, quindi la funzione integrale è positiva.

In definitiva

\\ F(x)>0\ \mbox{ per }-\ln(10)<x<-1\\ \\ F(-1)=0\mbox{ intersezione con asse x}\\ \\ F(x)<0\ \mbox{ per }-1<x<0

È facile vedere che in x=0 la funzione integrale assume un valore negativo, basta fare riferimento al significato geometrico dell'integrale.

Lo studio del segno ci consente di trarre un'importante considerazione riguardo ai limiti agli estremi del dominio

- in x=-\ln(10) abbiamo un asintoto verticale in cui la funzione integrale diverge positivamente da destra;

- per x\to +\infty dobbiamo studiare l'integrale improprio di prima specie

\lim_{x\to +\infty}F(x)=\int_{-1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})} dt

Se studiamo il comportamento asintotico della funzione integranda

\frac{\sqrt[3]{t}}{|e^t-1|(10-e^{-t})}\sim_{t\to +\infty}\mbox{costante}\cdot \frac{\sqrt[3]{t}}{e^t}=\frac{1}{e^tt^{-\frac{1}{3}}}

Qui si vede facilmente che l'integrale improprio converge grazie al criterio del confronto per integrali impropri di prima specie (confronto, non asintotico); basta procedere per confronto con gli integrali impropri notevoli, e osservare che ad esempio

e^t\geq t^2\mbox{ per }t\to +\infty

quindi

\frac{1}{e^t}\leq \frac{1}{t^2}\mbox{ per }t\to +\infty

e quindi

\frac{1}{e^tt^{-\frac{1}{3}}}\leq \frac{1}{t^2t^{-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{t^{\frac{5}{3}}}

In conclusione abbiamo un asintoto orizzontale per t\to +\infty.

Procediamo con lo studio della derivata prima. Qui dobbiamo appellarci al teorema fondamentale del calcolo integrale

F'(x)=f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{|e^x-1|(10-e^{-x})}

A ben vedere abbiamo già effettuato lo studio del segno della derivata prima. Basta ricontrollare lo studio del segno dell'integranda e trarre le dovute considerazioni.

La derivata della funzione integrale è

- negativa per -\ln(10)<x<0

- positiva per x>0

Sui rispettivi intervalli la funzione integrale è dunque decrescente e crescente.

Riguardo al punto x=0, l'integranda non è ivi definita, ma ciò non ci impedisce di impedisce di studiare la derivabilità della funzione integrale nel punto.

Come facciamo? Con l'unico, vero metodo da seguire in questi casi: calcoliamo il limite del rapporto incrementale

\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{\int_{-1}^{h}f(t)-\int_{-1}^{0}f(t)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{-\left[\int_{-1}^{0}f(t)-\int_{-1}^{h}f(t)\right]}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{-\int_{h}^{0}f(t)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{\int_{0}^{h}f(t)}{h}=

Come facciamo qui? Usiamo un grande classico per queste circostanze, il teorema di de l'Hopital!

=\lim_{h\to 0^-}\frac{\frac{\sqrt[3]{h}}{|e^h-1|(10-e^{-h})}}{1}=

ovvie equivalenze asintotiche

=\mbox{costante positiva}\cdot \lim_{h\to 0^-}\frac{\sqrt[3]{h}}{|h|}=-\infty

Ragionando in modo analogo per il limite da destra, si ricava

\lim_{h\to 0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=+\infty

Quindi x=0 è un punto di non derivabilità per la funzione integrale, ed in particolare un punto di cuspide.


PS: trovi tanti altri esercizi sullo studio della funzione integrale, tutti risolti, nella pagina del link.
Ringraziano: CarFaby
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