Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie

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Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie #90736

avt
pilloxe
Punto
L'esercizio in questione mi chiede di studiare la convergenza puntuale, assoluta e uniforme della serie di funzioni:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5}e^{-n^4x}

Chiedo il vostro aiuto emt
 
 

Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie #90739

avt
Omega
Amministratore
Ciao Pilloxe,

arrivo a risponderti emt

PS: se in futuro volessi proporre altre domande di Analisi 2, ti preghiamo di inviarci una preview dell'esercizio via mail e di attendere la nostra conferma prima di procedere all'acquisto.

Ti ringrazio emt

Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie #90741

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo la serie di funzioni

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5}e^{-n^4x}

e partiamo dallo studio della convergenza puntuale.

Qui si tratta di considerare x fissata (quindi come una costante) e studiare punto a punto la convergenza della funzione come serie numerica.

Si intuisce facilmente che il termine veramente rilevante è quello esponenziale, e sappiamo che n è un numero naturale. Dobbiamo quindi prestare attenzione al segno di x, che influisce pesantemente sul comportamento del termine esponenziale.

Distinguiamo alcuni casi:

- se x>0, abbiamo a che fare con una serie a termini positivi. Possiamo usare le proprietà delle potenze e riscrivere la serie nella forma

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5e^{n^4x}}

Poiché per x>0 risulta definitivamente (da un certo n in poi) che

e^{n^4x}>1\ \to\ 0<\frac{1}{e^{n^4x}}<1

Possiamo usare il criterio del confronto e maggiorare il termine generale della serie nel modo seguente

\frac{x}{n^5e^{n^4x}}\leq \frac{x}{n^5}

Dunque la serie assegnata viene maggiorata con

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5}\cdot\frac{1}{e^{n^4x}}\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5}=x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}

Quest'ultima serie converge poiché, a meno di un coefficiente, ha lo stesso comportamento della serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 2.

- Se x=0 la serie si riduce alla serie identicamente nulla.

- Se x<0 la riscriviamo per semplicità di lettura nella forma

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^5}e^{n^4(-x)}

dove (-x)>0. Qui abbiamo a che fare con una serie a termini non negativi e ci basta osservare che essa non soddisfa, punto a punto, la condizione necessaria di convergenza perché il limite del termine generale non vale zero

\frac{x}{n^5}e^{n^4(-x)}\to_{n\to +\infty} +\infty

Qui il risultato si deduce con un semplice confronto tra infiniti.


Passiamo alla convergenza assoluta, che pura va studiata punto a punto.

Essa per definizione riguarda la convergenza della serie dei valori assoluti

\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{x}{n^5}e^{-n^4x}\right|

Ricordando le proprietà del valore assoluto

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|x|}{n^5}e^{-n^4x}

Non mi dilungherò su questa parte dell'esercizio, perché basta procedere in modo analogo a quanto visto per la convergenza semplice per concludere che la serie converge assolutamente solo per x\geq 0.


Veniamo alla convergenza uniforme. Come sempre in questi casi il metodo più semplice, e che purtroppo non sempre funziona, consiste nello studiare la convergenza totale. Naturalmente dobbiamo limitare le nostre considerazioni all'intervallo di convergenza puntuale x\geq 0.

Con un po' di fortuna, se la serie converge totalmente allora converge pure uniformemente, perché la convergenza totale implica la convergenza uniforme.

Usiamo l'M-test di Weierstrass: detta \sum_{n}f_n(x) la serie di funzioni, cerchiamo una successione di numeri reali \{M_n\}_n tale che

\\ 1)\ |f_n(x)|\leq M_n\ \ \forall x\geq 0\\ \\ 2)\ \sum_n M_n\ \mbox{ converge}

Per tentare di individuare la serie numerica richiesta consideriamo il termine che vogliamo maggiorare

|f_n(x)|=\left|\frac{x}{n^5}e^{-n^4x}\right|

Poiché stiamo ragionando per x\geq 0, il valore assoluto è superfluo

|f_n(x)|=|f_n(x)|=\frac{x}{n^5}e^{-n^4x}=\frac{x}{n^5e^{n^4x}}

Per cercare un maggiorante possiamo procedere con lo studio della derivata prima e sperare di trovare un massimo nell'intervallo di riferimento.

Calcoliamo la derivata prima con la regola di derivazione del rapporto e consideriamo n costante

f'_n(x)=\frac{1\cdot n^5e^{n^4x}-xn^5e^{n^4x}n^4}{(n^5e^{n^4x})^2}=

con dei semplici calcoli ricaviamo

f'_n(x)=\frac{1-n^4x}{n^5e^{n^4x}}

Studiamone il segno

\frac{1-n^4x}{n^5e^{n^4x}}\geq 0\ \to\ x\leq \frac{1}{n^4}

Da qui deduciamo che f_n(x) ha un punto di massimo in x=\frac{1}{n^4}, ed il massimo corrispondente vale

f_n\left(\frac{1}{n^4}\right)=\frac{1}{en^9}

Ci siamo: ci basta considerare

M_n=\frac{1}{en^9}

e notare che la corrispondente serie converge, in quanto serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 2.

Concludiamo che la serie converge totalmente per x\geq 0, e dunque pure uniformemente.


PS: per la teoria e tanti esercizi svolti, vedi serie di funzioni. emt
Ringraziano: CarFaby, pilloxe

Re: Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie #90746

avt
pilloxe
Punto
Mi è venuto un dubbio... Si potrebbe trattare anche come serie di potenza per caso?

Re: Esercizio convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie #90749

avt
Omega
Amministratore
A giudicare dalla presenza di quel fattore x, direi proprio di no.
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Os