Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro

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Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90709

avt
judd79
Cerchio
Vi propongo un esercizio anomalo sulla continuità e sulla derivabilità di una funzione definita a tratti e con un parametro reale.

Data la funzione

f(x)=\begin{cases}(2-k)x+1\mbox{ per }x\leq 0\\ \log(x-k)\mbox{ per }x>0\end{cases}

- è continua in x=0?

- È derivabile?
 
 

Re: Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90718

avt
Omega
Amministratore
Innanzitutto partiamo da una considerazione relativa al dominio della funzione

f(x)=\begin{cases}(2-k)x+1\mbox{ per }x\leq 0\\ \log(x-k)\mbox{ per }x>0\end{cases}

Si tratta di una funzione definita a tratti, e ciascun ramo è definito sul rispettivo intervallo di competenza. Qui però dobbiamo aggiungere una condizione per il dominio: poiché il logaritmo è definito solamente se l'argomento è positivo, dobbiamo imporre

x-k>0\ \to\ x>k

Dato che vogliamo studiare la continuità della funzione in x=0, per fare in modo che la richiesta sia consistente dobbiamo necessariamente limitarci a considerare valori del parametro negativi

k<0

In caso contrario non il ramo destro non potrebbe essere definito per x>0, ma solo per x>k. In sintesi, abbiamo già una prima limitazione sul parametro.

Ora facciamo riferimento alla definizione di funzione continua in un punto: dobbiamo imporre che i due limiti, sinistro e destro, esistano finiti e che il loro comune valore coincida con la valutazione della funzione nel punto.

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\in\mathbb{R}

Attenzione alla scelta del giusto tratto nel calcolo dei limiti da sinistra e da destra.

\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}[(2-k)x+1]=1\\ \\ f(0)=(2-k)\cdot 0+1=1\\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\log(x-k)=\log(-k)

Imponiamo quindi la condizione di continuità nel punto

\log(-k)=1

che è una semplice equazione logaritmica che ammette come unica soluzione

-k=e\ \to\ k=-e

Abbiamo scoperto che l'unico valore del parametro per cui la funzione è continua nel punto x=0 è k=-e

f(x)=\begin{cases}(2+e)x+1\mbox{ per }x\leq 0\\ \log(x+e)\mbox{ per }x>0\end{cases}

Ora passiamo allo studio della derivabilità.

Non facciamoci trarre in inganno: in generale il metodo prevede di affidarsi alla definizione, e dunque di controllare se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono finiti e coincidono. In generale non si può studiare la derivabilità con il metodo delle derivate.

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\in\mathbb{R}

Procediamo. Anche qui, attenzione alla scelta del giusto ramo

\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{(2+e)h+1-1}{h}=

da cui

=\lim_{h\to 0^-}(2+e)=2+e

Calcoliamo l'altro limite

\\ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^+}\frac{\log(h+e)-1}{h}=

Per calcolare questo limite conviene affidarsi ad un trucchetto algebrico: si scrive 1=\log(e) e si applicano le proprietà dei logaritmi

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\log(x+e)-\log(e)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\log\left(\frac{h+e}{e}\right)}{h}=

Fatto ciò, si divide termine a termine

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\log(h+e)-\log(e)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\log\left(1+\frac{h}{e}\right)}{h}=

e si può così applicare il limite notevole del logaritmo, poiché \frac{x}{e}\to_{x\to 0^-}0. In questo modo passiamo al limite equivalente

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{h}{e}}{h}=\frac{1}{e}

Fine: x=0 è un punto angoloso per la funzione, perché i due limiti esistono finiti ma non coincidono. Quindi la funzione non è ivi derivabile.
Ringraziano: CarFaby

Re: Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90720

avt
judd79
Cerchio
Cosa guida la scelta del giusto ramo?

Re: Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90721

avt
Omega
Amministratore
Gli intervalli di definizione dei rami:

- x<0 è a sinistra, quindi quel ramo riguarda x_0^-

- x>0 è a destra, quindi quel ramo riguarda x_0^+.
Ringraziano: CarFaby

Re: Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90792

avt
judd79
Cerchio
Imponiamo quindi la condizione di continuità nel punto

\log(-k)=1

1 è il risultato del primo limite che contiene anche lo 0, cioè il punto dove si valuta la continuità. Giusto?

Re: Continuità e derivabilità di una funzione a tratti con un parametro #90798

avt
Omega
Amministratore
Esattamente e non solo: il valore 1 è sia il risultato del limite da sinistra, sia il valore della funzione nel punto.

Per avere la continuità nel punto anche il limite da destra deve assumere tale valore, in accordo con la definizione. emt
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Os