Limite con radice cubica ed esponenziali

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Limite con radice cubica ed esponenziali #90708

avt
judd79
Cerchio
In questo topic vi chiedo aiuto per calcolare il limite di una funzione con una radice cubica e delle esponenziali:

\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{1-e^{-x}}-1\right)e^{\frac{x}{2}}

Grazie in anticipo
 
 

Re: Limite con radice cubica ed esponenziali #90715

avt
Omega
Amministratore
Ci sono due considerazioni preliminari da effettuare per calcolare correttamente ed agevolmente il limite. Se riesci ad allenare l'occhio e l'intuizione, osservando la struttura di un limite ci si può fare un'idea immediata del miglior metodo di risoluzione da adottare. emt

\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{1-e^{-x}}-1\right)e^{\frac{x}{2}}=(\bullet)

Qui deve saltare all'occhio:

- la struttura del termine tra parentesi

\sqrt[3]{1-e^{-x}}-1

che possiamo riscrivere sfruttando la definizione di radicale come potenza con esponente frazionario

(1-e^{-x})^{\frac{1}{3}}-1

- il comportamento del termine esponenziale per x\to +\infty (occhio al segno dell'esponente)

e^{-x}\to_{x\to +\infty}0

Ding dong: possiamo usare il limite notevole

\lim_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x))^c-1}{f(x)}=c

e ricavarne la corrispondente equivalenza asintotica

(1+f(x))^c-1\sim_{f(x)\to 0}c\cdot f(x)

Questo ovviamente a patto di includere il segno meno nel termine infinitesimo: f(x)=-e^{-x}.

Passiamo così a calcolare il limite equivalente

(\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{3}(-e^{-x})e^{\frac{x}{2}}=

e, grazie alle proprietà delle potenze

=\lim_{x\to +\infty}\left(-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{2}}\right)=0

Il risultato si ricava immediatamente considerando, ancora una volta, il comportamento dell'esponenziale a -infinito.
Ringraziano: CarFaby
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Os