Limite con radice cubica ed esponenziali

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Limite con radice cubica ed esponenziali #90708

avt
judd79
Cerchio
In questo topic vi chiedo aiuto per calcolare il limite di una funzione con una radice cubica e delle esponenziali:

lim_(x → +∞)([3]√(1-e^(-x))-1)e^((x)/(2))

Grazie in anticipo
 
 

Re: Limite con radice cubica ed esponenziali #90715

avt
Omega
Amministratore
Ci sono due considerazioni preliminari da effettuare per calcolare correttamente ed agevolmente il limite. Se riesci ad allenare l'occhio e l'intuizione, osservando la struttura di un limite ci si può fare un'idea immediata del miglior metodo di risoluzione da adottare. emt

lim_(x → +∞)([3]√(1-e^(-x))-1)e^((x)/(2)) = (•)

Qui deve saltare all'occhio:

- la struttura del termine tra parentesi

[3]√(1-e^(-x))-1

che possiamo riscrivere sfruttando la definizione di radicale come potenza con esponente frazionario

(1-e^(-x))^((1)/(3))-1

- il comportamento del termine esponenziale per x → +∞ (occhio al segno dell'esponente)

e^(-x) → _(x → +∞)0

Ding dong: possiamo usare il limite notevole

lim_(f(x) → 0)((1+f(x))^c-1)/(f(x)) = c

e ricavarne la corrispondente equivalenza asintotica

(1+f(x))^c-1 ~ _(f(x) → 0)c·f(x)

Questo ovviamente a patto di includere il segno meno nel termine infinitesimo: f(x) = -e^(-x).

Passiamo così a calcolare il limite equivalente

(•) = lim_(x → +∞)(1)/(3)(-e^(-x))e^((x)/(2)) =

e, grazie alle proprietà delle potenze

= lim_(x → +∞)(-(1)/(3)e^(-(x)/(2))) = 0

Il risultato si ricava immediatamente considerando, ancora una volta, il comportamento dell'esponenziale a -infinito.
Ringraziano: CarFaby
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Os