Limite all'infinito con seno e coseno

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Limite all'infinito con seno e coseno #90707

avt
judd79
Cerchio
Non saprei come calcolare questo limite all'infinito, dal momento che ho un rapporto con somma e differenza con un seno ed un coseno:

\lim_{x\to +\infty}\frac{x+\sin(x)}{x-\cos(x)}

Grazie mille
 
 

Re: Limite all'infinito con seno e coseno #90716

avt
Omega
Amministratore
Il tranello che induce i docenti a proporre esercizi del genere riguarda un fraintendimento molto diffuso, che sorge dal fatto che non esistono i limiti del seno e del coseno all'infinito.

Trattandosi di funzioni periodiche, e con un semplice impianto dimostrativo, si può provare che

\\ \not\exists\ \lim_{x\to +\infty}\sin(x)\\ \\ \not\exists\ \lim_{x\to +\infty}\cos(x)

A titolo di approfondimento, puoi leggere:

- seno di infinito;

- dimostrare che un limite del seno non esiste.

Qui però (ecco il tranello) non abbiamo solo seno e coseno, quindi potrebbe esserci dell'altro...

\lim_{x\to +\infty}\frac{x+\sin(x)}{x-\cos(x)}=

Noi sappiamo anche che il seno ed il coseno sono funzioni limitate a valori in [-1,+1]. D'altro canto, i termini in x divergono all'infinito.

Siamo giunti al nocciolo della questione: i termini trigonometrici sono trascurabili perché sono addendi in una somma ed in una differenza in cui, in entrambi i casi, c'è un termine che diverge all'infinito

=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\left(1+\frac{\sin(x)}{x}\right)}{x\left(1-\frac{\cos(x)}{x}\right)}=

I due rapporti convergono a zero per le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi; nel contempo le due x si semplificano, sicché il limite vale 1

=\lim_{x\to +\infty}\frac{1+\frac{\sin(x)}{x}}{1-\frac{\cos(x)}{x}}=1
Ringraziano: CarFaby
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Os