Limite e derivata di una differenza con radice cubica

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Limite e derivata di una differenza con radice cubica #90706

avt
judd79
Cerchio
Ciao, devo calcolare limite per x che tende a più infinito e derivata della seguente funzione:

f(x)=\sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x

Grazie!
 
 

Limite e derivata di una differenza con radice cubica #90725

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo il limite

\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x)=

che si presenta nella forma indeterminata [\infty-\infty].

Possiamo pensare di risolvere la forma di indecisione procedendo per razionalizzazione sfruttando la regola relativa alla differenza di cubi

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Se poniamo

a=\sqrt[3]{27x^3-x^2}\ \ \  \mbox{e} \ \ \ b=3x

otteniamo che

\\ a^2=\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2} \\ \\ ab = 3x \cdot \sqrt[3]{27x^3-x^2} = \sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)} \\ \\ b^2=9x^2

di conseguenza, il fattore razionalizzante è:

a^2+ab+b^2=\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2

Moltiplicando e dividendo per tale fattore otteniamo a numeratore la differenza di cubi

a^3-b^3=27x^3-x^2-27x^3=-x^2

e a denominatore

a^2+ab+b^2=\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2

Volendo scrivere tutti i passaggi

\\ \lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x)= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x\right)\left(\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2\right)}{\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2}=(\bullet)

Svolgiamo i calcoli al numeratore sfruttando la regola sulla differenza di cubi così che il limite diventi

\\ (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{27x^3-x^2-27x^3}{\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2} = \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty} \frac{-x^2}{\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}+\sqrt[3]{27x^3(27x^3-x^2)}+9x^2} =

Limitandoci a considerare gli infiniti di ordine principale possiamo concludere agevolmente che il limite è -\frac{1}{27}.

\\ =\lim_{x\to +\infty}{\frac{-x^2}{\sqrt[3]{\left(27x^3\right)^2} + \sqrt[3]{27x^3 \cdot 27x^3} + 9x^2 }} = \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}{\frac{-x^2}{9x^2+9x^2 + 9x^2}} = -\frac{1}{27}

Osserviamo che per semplificare i calcoli abbiamo fatto uso delle proprietà delle radici.

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Passiamo ora al calcolo della derivata prima della funzione

f(x)=\sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x

Anzitutto riscriviamola come

f(x)=\left(27x^3-x^2\right)^{\frac{1}{3}}-3x

Per la regola di derivazione della funzione composta

\\ f'(x)=\frac{1}{3}\left(27x^3-x^2\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot [27x^3-x^2]'-3 = \\ \\ \\ = \frac{1}{3} \left(27x^3-x^2\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot (81x^2-2x) - 3 = \\ \\ \\ = \frac{81x^2-2x}{3\sqrt[3]{(27x^3-x^2)^2}}-3

dove, nell'ultimo passaggio, occorre ricordare come si definiscono le potenze con esponente negativo.

È tutto.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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Os