Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente

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Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente #90704

avt
judd79
Cerchio
In questo esercizio devo determinare la retta tangente al grafico di una funzione con arcotangente e rapporto.

La traccia recita: trovare l'equazione della tangente a y = arctan((1)/(x)) nel suo punto di ascissa x = 1.
 
 

Re: Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente #90713

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

pochi giorni fa abbiamo risolto un esercizio simile e, ora come allora, suggerisco di tenere a portata di mano la nostra guida sulla retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

Abbiamo la funzione

f(x) = arctan((1)/(x))

e vogliamo determinare l'equazione della tangente nel punto del grafico di ascissa x_0 = 1.

L'equazione avrà la forma

y-y_0 = m(x-x_0)

dove y_0 = f(x_0) è l'ordinata corrispondente all'ascissa del punto, ottenuta mediante la valutazione della funzione in corrispondenza dell'ascissa x_0

y_0 = f(1) = arctan(1) = (π)/(4)

(tieni sempre a mente la definizione di arcotangente per determinarne i valori notevoli).

In quanto ad m, è il coefficiente angolare della retta tangente e in accordo con il significato geometrico della derivata è dato dalla valutazione della derivata prima nel punto

m = f'(x_0)

Calcoliamo dunque la derivata della funzione. Per farlo ci serve il teorema di derivazione della funzione composta; nel caso servisse, puoi aiutarti anche con la tabella delle derivate fondamentali

f'(x) = (d)/(dx)[arctan((1)/(x))] ; = (1)/(1+((1)/(x))^2)·(d)/(dx)[(1)/(x)] = (1)/(1+((1)/(x))^2)·(-(1)/(x^2))

Valutiamola:

m = f'(1) = -(1)/(2)

Abbiamo finito, perché disponiamo di tutti gli ingredienti: l'equazione della tangente è data da

y-(π)/(4) = -(1)/(2)(x-1)

o, se preferisci

y = -(x)/(2)+(π)/(4)+(1)/(2)
Ringraziano: CarFaby
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Os