Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente #90704

avt
judd79
Cerchio
In questo esercizio devo determinare la retta tangente al grafico di una funzione con arcotangente e rapporto.

La traccia recita: trovare l'equazione della tangente a y=\arctan\left(\frac{1}{x}\right) nel suo punto di ascissa x=1.
 
 

Re: Esercizio retta tangente al grafico con arcotangente #90713

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

pochi giorni fa abbiamo risolto un esercizio simile e, ora come allora, suggerisco di tenere a portata di mano la nostra guida sulla retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

Abbiamo la funzione

f(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

e vogliamo determinare l'equazione della tangente nel punto del grafico di ascissa x_0=1.

L'equazione avrà la forma

y-y_0=m(x-x_0)

dove y_0=f(x_0) è l'ordinata corrispondente all'ascissa del punto, ottenuta mediante la valutazione della funzione in corrispondenza dell'ascissa x_0

y_0=f(1)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}

(tieni sempre a mente la definizione di arcotangente per determinarne i valori notevoli).

In quanto ad m, è il coefficiente angolare della retta tangente e in accordo con il significato geometrico della derivata è dato dalla valutazione della derivata prima nel punto

m=f'(x_0)

Calcoliamo dunque la derivata della funzione. Per farlo ci serve il teorema di derivazione della funzione composta; nel caso servisse, puoi aiutarti anche con la tabella delle derivate fondamentali

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]\\ \\ \\ =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

Valutiamola:

m=f'(1)=-\frac{1}{2}

Abbiamo finito, perché disponiamo di tutti gli ingredienti: l'equazione della tangente è data da

y-\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}(x-1)

o, se preferisci

y=-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os