Calcolare la derivata in un punto con la definizione

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Calcolare la derivata in un punto con la definizione #90596

avt
judd79
Cerchio
Questo esercizio chiede di calcolare la derivata di una funzione in un punto con la definizione stessa di derivata:

y=3x^2-2x\ \ \ \mbox{ in }x_0=1

Grazie in anticipo
 
 

Re: Calcolare la derivata in un punto con la definizione #90615

avt
Omega
Amministratore
Fortunatamente questa tipologia di esercizi è abbastanza meccanico e richiede solamente un po' d'attenzione in un paio di passaggi, che ovviamente evidenzierò a dovere. emt

Calcolare la derivata di una funzione in un punto facendo uso della definizione è un'operazione estremamente utile dal punto di vista didattico, perché impone di rimboccarsi le maniche e di digerire per benino la definizione di derivata (anche se dal punto di vista pratico sappiamo che il modus operandi per il calcolo delle derivate è tutt'altro).

Consideriamo la funzione

y=3x^2-2x

e proponiamoci di determinarne la derivata nel punto x_0=1 usando la definizione, ossia calcolando il limite del rapporto incrementale:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

Ok, mettiamoci all'opera: il passaggio delicato consiste nel trascrivere le valutazioni della funzione f(x_0+h),\ f(x_0). Qui conviene procedere trascrivendo l'espressione della funzione e sostituendo la variabile con il punto di valutazione (cfr. definizione di funzione).

Le parentesi sono importantissime per evitare errori banali

=\lim_{h\to 0}\frac{[3(x_0+h)^2-2(x_0+h)]-[3x_0^2-2x_0]}{h}=

Sostituiamo x_0=1

=\lim_{h\to 0}\frac{[3(1+h)^2-2(1+h)]-[3-2]}{h}=

e facciamo i conti

\\ =\lim_{h\to 0}\frac{3h^2+6h+3-2-2h-1}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{3h^2+4h}{h}=

Effettuiamo un raccoglimento totale a numeratore

=\lim_{h\to 0}\frac{h(3h+4)}{h}=

semplifichiamo e passiamo al limite

=\lim_{h\to 0}(3h+4)=4

Fatto. Vogliamo verificare il risultato con il calcolo diretto della derivata e la successiva valutazione nel punto?

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}[3x^2-2x]=6x-2\\ \\ \\ f'(1)=6-2=4

Tutto a posto. Se vuoi fare un po' di allenamento puoi dare un'occhiata alla scheda di esercizi risolti sulla definizione di derivata. emt
Ringraziano: CarFaby, Kript95
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