Superfici di rotazione generate da due rette

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Superfici di rotazione generate da due rette #90511

avt
Final
Punto
Esercitandomi per l'esame di Geometria mi sono imbattuto in un esercizio sulle superfici di rotazione generate da due rette, per il quale ho qualche dubbio e qualche difficoltà.

Si considerino due rette r_1,\ r_2 tali che:

\\ r_1:\ \begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=0 \end{cases}\\ \\ \\ r_2:\ \begin{cases}x=u \\ y=0 \\ z=u \end{cases}

Determinare:

- la superficie S_1 ottenuta ruotando r_1 attorno a r_2;

- la superficie S_2 ottenuta ruotando r_2 attorno a r_1;

- la curva S_1 \cap S_2 e due rette contenute in tale curva.


Lavorando sulle dispense del corso di Geometria ho tentato di risolverlo nel modo seguente: le circonferenze della superficie generata dalla rotazione di r_1 attorno a r_2 si ottengono intersecando, per ogni t, il piano passante per P(x(t), y(t), z(t)) e ortogonale ad r_2 con la sfera di centro C e raggio d(C,P), con C appartenente alla retta r_2.

La direzione di r_2 è il vettore v=[1,0,1], ottengo quindi il piano:

\pi:\ x+z+d=0

imponendo il passaggio del piano per P(x(t), y(t), z(t)) si ha:

\pi:\ x+z=t

Sia C=(0,0,0) appartenente ad r_2. L'equazione della sfera avente come centro C e passante per P è la seguente:

x^2+y^2+z^2=t^2+t^2

da cui ricavo

S_1=\begin{cases}x+z=t\\ x^2+y^2+z^2=2t^2\end{cases}

Eliminando i parametri dalla seconda equazione ottengo

x^2+y^2+z^2-2(x+z)^2=0

Non sapendo se questa parte del procedimento risolutivo sia corretto, non ho voluto proseguire.
Potreste darmi una mano? Vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Superfici di rotazione generate da due rette #90518

avt
Galois
Amministratore
Ciao Fina,

il procedimento che proponi va più che bene!

Ad ogni modo lo rivediamo un attimo insieme in modo da poter focalizzare l'attenzione su qualche punto.

Partiamo col determinare la superficie S_1 ottenuta ruotando r_1 attorno a r_2, dove

\\ r_1:\begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=0 \end{cases} \\ \\ r_2:\begin{cases}x=u \\ y=0 \\ z=u \end{cases}

Possiamo stabilire preliminarmente che tipo di quadrica vien fuori dalla rotazione e, a tal proposito, ti invito a leggere la mia risposta della seguente discussione: tipo di quadrica di rotazione.

Nell'esercizio in esame si vede a colpo d'occhio che le due rette r_1 \mbox{ e } r_2 si intersecano nel punto V(0,0,0).

Senza ulteriore analisi possiamo quindi subito affermare che siamo di fronte a due rette incidenti dello spazio.

Di conseguenza, sia la rotazione di r_1 attorno a r_2 che la rotazione di r_2 attorno ad r_1 genererà un cono.

Se l'analisi non fosse così evidente, si può stabilire la posizione tra due rette dello spazio così come ampiamente spiegato nella lezione del link.

Chiarito ciò troviamo l'equazione del cono S_1 ottenuto dalla rotazione di r_1 attorno ad r_2.

Tale superficie si ottiene dall'unione delle circonferenze descritte dai punti della retta r_1 che ruotano attorno alla retta r_2.

Ricordiamo ora che, in generale, nello spazio una circonferenza si ricava dall'intersezione tra un piano ed una sfera.

Quindi, per trovare l'equazione delle circonferenze descritte dalla rotazione dei punti della retta r_1 attorno alla retta r_2 dobbiamo ricavare:

- un generico punto P_1 di r_1;

- l'equazione cartesiana del piano \pi passante per P_1 e ortogonale alla retta r_2;

- l'equazione della sfera avente centro sulla retta r_2 e raggio uguale alla distanza tra il punto P_1 ed il centro.

Dall'equazione parametrica della retta r_1 ricaviamo immediatamente le coordinate di un suo generico punto:

P_1(t,t,0), \ t \in \mathbb{R}

L'equazione del piano \pi (piano per un punto ortogonale ad una retta) è

\pi: \ x+z=t

Ci manca ora l'equazione della sfera avente centro su un punto qualsiasi della retta r_1 e raggio pari alla distanza tra P_1 e tale punto.

Considerando l'origine O(0,0,0) come punto della retta r_2 (è il più semplice che si possa prendere in esame), la distanza di P_1 da O, utilizzando la formula della distanza tra due punti è

\\ d(P_1,O)=\sqrt{(x_{P_1}-x_O)^2+(y_{P_1}-y_O)^2+(z_{P_1}-z_O)^2}=\\ \\ = \sqrt{t^2+t^2+0^2}=\sqrt{2t^2}

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per determinare l'equazione della sfera noto centro e raggio:

(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=r^2

da cui

x^2+y^2+z^2=2t^2

L'intersezione tra sfera e piano ci permette di ottenere l'equazione delle circonferenze che descrivono il cono S_1 il quale avrà quindi equazione parametrica data da:

S: \ \begin{cases}x^2+y^2+z^2=2t^2 \\ x+z=t \end{cases}

Per scrivere l'equazione cartesiana del cono è sufficiente eliminare il parametro t dal precedente sistema; poiché dalla seconda equazione abbiamo t=x+z è sufficiente sostituire nella prima equazione x+z al posto di t:

x^2+y^2+z^2=2(x+z)^2

Svolgendo il quadrato di binomio e sommando i termini simili si ottiene

S_1: \ x^2-y^2+z^2+4xz=0

che è l'equazione cartesiana del cono ottenuto facendo ruotare la retta r_1 attorno alla retta r_2.

-------------

Per trovare l'equazione della superficie S_2 (che sarà anch'essa un cono) ottenuta dalla rotazione di r_2 attorno ad r_1 si procede in modo del tutto analogo.

Un generico punto P_2 \mbox{ di } r_2 è

P_2(u,0,u) \ u \in \mathbb{R}

mentre la direzione di r_1 è v_{r_1}=(1,1,0)

L'equazione del piano passante per P_2 e ortogonale alla retta r_1 è

\pi: \ x+y=u

Mentre la sfera con centro l'origine e raggio OP_2 ha equazione

x^2+y^2+z^2=2u^2

Intersecando sfera e piano otteniamo l'equazione parametrica del cono

S_2: \ \begin{cases} x+y=u \\ x^2+y^2+z^2=2u^2\end{cases}

la cui equazione cartesiana è

S_2: \ x^2+y^2-z^2+4xy=0

--------------

Non ci rimane altro da fare se non trovare S_1 \cap S_2. Dobbiamo allora risolvere il sistema formato dalle loro equazioni

\begin{cases}x^2-y^2+z^2+4xz=0 \\ x^2+y^2-z^2+4xy=0\end{cases}

Sommando membro a membro otteniamo

2x^2+4xz+4xy=0

da cui, raccogliendo a fattor comune 2x:

2x(x+2z+2y)=0

Per la legge di annullamento del prodotto:

x=0 \mbox{ oppure } x=-2z-2y

Sostituendo tali valori al posto di x in una delle due equazioni del sistema (scelta a caso) si ottiene.

Per x=0: \ (0,0,0)

ossia, come ci si dovrebbe aspettare, l'origine degli assi (nonché vertice comune dei due coni) è un loro punto di intersezione.

Invece sostituendo x=-2z-2y ad esempio nella seconda equazione si ricava (dopo qualche semplice conticino):

y^2-z^2=0

che è l'equazione di una conica semplicemente degenere del piano [yz].

Per saperne di più: classificazione delle coniche - click!

Pertanto l'intersezione tra i due coni è una conica semplicemente degenere, dalla cui equazione è semplicissimo trovare due rette in essa contenute.

Infatti, per com'è definita una differenza di quadrati:

\\ y^2-z^2=0 \iff (y+z)(y-z)=0 \iff\\ \\ \iff y=-z \mbox{ oppure } y=z

Le ultime due sono proprio le equazioni delle rette cercate.
Ringraziano: CarFaby, Final

Re: Superfici di rotazione generate da due rette #90531

avt
Final
Punto
Grazie mille Galois, mi è tutto chiaro!

Questo esercizio mi era capitato all'ultimo scritto di Geometria. Avevo immediatamente notato il punto di intersezione delle rette nell'origine, avevo pure intuito che la superficie di rotazione in analisi fosse un cono per entrambi i casi, ma non sono mai riuscito a venirne fuori. Solo ieri ho iniziato a capire come risolverlo e, grazie alle tue dettagliate spiegazioni, credo di essermi tolto ogni dubbio.

Grazie ancora!
Ringraziano: Galois
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Os