Superfici di rotazione generate da due rette

Esercitandomi per l'esame di Geometria mi sono imbattuto in un esercizio sulle superfici di rotazione generate da due rette, per il quale ho qualche dubbio e qualche difficoltà.

Si considerino due rette tali che:



Determinare:

- la superficie ottenuta ruotando attorno a ;

- la superficie ottenuta ruotando attorno a ;

- la curva e due rette contenute in tale curva.


Lavorando sulle dispense del corso di Geometria ho tentato di risolverlo nel modo seguente: le circonferenze della superficie generata dalla rotazione di attorno a si ottengono intersecando, per ogni , il piano passante per e ortogonale ad con la sfera di centro e raggio , con C appartenente alla retta .

La direzione di è il vettore , ottengo quindi il piano:



imponendo il passaggio del piano per si ha:



Sia appartenente ad . L'equazione della sfera avente come centro C e passante per P è la seguente:



da cui ricavo



Eliminando i parametri dalla seconda equazione ottengo



Non sapendo se questa parte del procedimento risolutivo sia corretto, non ho voluto proseguire.
Potreste darmi una mano? Vi ringrazio anticipatamente.

Ciao Fina,

il procedimento che proponi va più che bene!

Ad ogni modo lo rivediamo un attimo insieme in modo da poter focalizzare l'attenzione su qualche punto.

Partiamo col determinare la superficie ottenuta ruotando attorno a , dove



Possiamo stabilire preliminarmente che tipo di quadrica vien fuori dalla rotazione e, a tal proposito, ti invito a leggere la mia risposta della seguente discussione: tipo di quadrica di rotazione.

Nell'esercizio in esame si vede a colpo d'occhio che le due rette si intersecano nel punto .

Senza ulteriore analisi possiamo quindi subito affermare che siamo di fronte a due rette incidenti dello spazio.

Di conseguenza, sia la rotazione di attorno a che la rotazione di attorno ad genererà un cono.

Se l'analisi non fosse così evidente, si può stabilire la posizione tra due rette dello spazio così come ampiamente spiegato nella lezione del link.

Chiarito ciò troviamo l'equazione del cono ottenuto dalla rotazione di attorno ad .

Tale superficie si ottiene dall'unione delle circonferenze descritte dai punti della retta che ruotano attorno alla retta .

Ricordiamo ora che, in generale, nello spazio una circonferenza si ricava dall'intersezione tra un piano ed una sfera.

Quindi, per trovare l'equazione delle circonferenze descritte dalla rotazione dei punti della retta attorno alla retta dobbiamo ricavare:

- un generico punto di ;

- l'equazione cartesiana del piano passante per e ortogonale alla retta ;

- l'equazione della sfera avente centro sulla retta e raggio uguale alla distanza tra il punto ed il centro.

Dall'equazione parametrica della retta ricaviamo immediatamente le coordinate di un suo generico punto:



L'equazione del piano (piano per un punto ortogonale ad una retta) è



Ci manca ora l'equazione della sfera avente centro su un punto qualsiasi della retta e raggio pari alla distanza tra e tale punto.

Considerando l'origine come punto della retta (è il più semplice che si possa prendere in esame), la distanza di da , utilizzando la formula della distanza tra due punti è



Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per determinare l'equazione della sfera noto centro e raggio:



da cui



L'intersezione tra sfera e piano ci permette di ottenere l'equazione delle circonferenze che descrivono il cono il quale avrà quindi equazione parametrica data da:



Per scrivere l'equazione cartesiana del cono è sufficiente eliminare il parametro t dal precedente sistema; poiché dalla seconda equazione abbiamo è sufficiente sostituire nella prima equazione x+z al posto di t:



Svolgendo il quadrato di binomio e sommando i termini simili si ottiene



che è l'equazione cartesiana del cono ottenuto facendo ruotare la retta attorno alla retta .

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Per trovare l'equazione della superficie (che sarà anch'essa un cono) ottenuta dalla rotazione di attorno ad si procede in modo del tutto analogo.

Un generico punto è



mentre la direzione di è

L'equazione del piano passante per e ortogonale alla retta è



Mentre la sfera con centro l'origine e raggio ha equazione



Intersecando sfera e piano otteniamo l'equazione parametrica del cono



la cui equazione cartesiana è



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Non ci rimane altro da fare se non trovare . Dobbiamo allora risolvere il sistema formato dalle loro equazioni



Sommando membro a membro otteniamo



da cui, raccogliendo a fattor comune :



Per la legge di annullamento del prodotto:



Sostituendo tali valori al posto di x in una delle due equazioni del sistema (scelta a caso) si ottiene.

Per

ossia, come ci si dovrebbe aspettare, l'origine degli assi (nonché vertice comune dei due coni) è un loro punto di intersezione.

Invece sostituendo ad esempio nella seconda equazione si ricava (dopo qualche semplice conticino):



che è l'equazione di una conica semplicemente degenere del piano [yz].

Per saperne di più: classificazione delle coniche - click!

Pertanto l'intersezione tra i due coni è una conica semplicemente degenere, dalla cui equazione è semplicissimo trovare due rette in essa contenute.

Infatti, per com'è definita una differenza di quadrati:



Le ultime due sono proprio le equazioni delle rette cercate.

Grazie mille Galois, mi è tutto chiaro!

Questo esercizio mi era capitato all'ultimo scritto di Geometria. Avevo immediatamente notato il punto di intersezione delle rette nell'origine, avevo pure intuito che la superficie di rotazione in analisi fosse un cono per entrambi i casi, ma non sono mai riuscito a venirne fuori. Solo ieri ho iniziato a capire come risolverlo e, grazie alle tue dettagliate spiegazioni, credo di essermi tolto ogni dubbio.

Grazie ancora!