Limite in due variabili con coseno e parametro

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Limite in due variabili con coseno e parametro #90449

avt
manu_ela_78
Cerchio
Vi chiedo aiuto per studiare il seguente limite in due variabili di una funzione fratta con coseno e parametro:

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^3y^{2\lambda})}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Limite in due variabili con coseno e parametro #90451

avt
Omega
Amministratore
Tra tutti i limiti in due variabili che hai proposto di recente, questo è sicuramente quello che richiede maggiore attenzione. La risoluzione prevederà infatti l'utilizzo di diversi metodi.

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^3y^{2\lambda})}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

Fissiamoci sul termine y^{2\lambda} e procediamo per casi.

CASO \lambda\geq 0

In questa eventualità l'argomento del coseno è certamente un infinitesimo al tendere di (x,y)\to(0,0).

Di conseguenza possiamo fare riferimento al limite notevole del coseno e applicare la corrispondente equivalenza asintotica, passando al limite equivalente

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{1}{2}(x^3y^{2\lambda})^2}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

da cui

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{2}\frac{x^6y^{4\lambda}}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

Ora passiamo in coordinate polari e facciamo buon uso delle proprietà delle potenze

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{2}\frac{\rho^{6+4\lambda}\cos^6(\theta)\sin^{4\lambda}(\theta)}{\rho^{4\lambda+2}}

da cui

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{2}\rho^{4}\cos^6(\theta)\sin^{4\lambda}(\theta)=0

che il precedente limite non dipenda dalla direzione lungo cui (x,y)\to(0,0), ossia non dipenda dall'angolo \theta, è evidente.


CASO \lambda<0

Se guardiamo il denominatore in

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^3y^{2\lambda})}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

vediamo che per 2\lambda+1<0, ossia \lambda<-\frac{1}{2}, possiamo riscrivere il limite nella forma

\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^{-(2\lambda+1)}\left[1-\cos(x^3y^{2\lambda})\right]

dove (-2\lambda+1)>0. In pratica ci ritroviamo con il prodotto tra un infinitesimo (tale è il primo fattore) ed una quantità limitata nell'intervallo [0,2], poiché la funzione coseno è limitata in [-1,+1]

Più elegantemente, ed in modo del tutto equivalente, stiamo usando il teorema dei due carabinieri.

Ne deduciamo che per ogni \lambda<-\frac{1}{2} il limite vale zero.


Come ultimo sotto-caso, consideriamo -\frac{1}{2}\leq\lambda<0. Il problema qui riguarda l'argomento del coseno:

x^3y^{2\lambda}

dove -1\leq 2\lambda<0. Volendo possiamo riscriverlo come

\frac{x^3}{y^{-2\lambda}}

dove 0< -2\lambda\leq 1. In questa eventualità quale che sia il valore di -\frac{1}{2}\leq\lambda<0, dobbiamo escludere la direzione y=0 perché l'asse delle x è escluso dall'insieme di definizione.

Passiamo in coordinate polari su tale termine

\\ \lim_{(x,y)\to(0,0)}x^3y^{2\lambda}=\\ \\ \\ =\lim_{\rho\to 0}\rho^{3+2\lambda}\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta)

Qual è il segno di 3+2\lambda\ ?

\\ -\frac{1}{2}\leq \lambda<0\\ \\ -1\leq 2\lambda<0\\ \\ 2\leq 3+2\lambda<3

quindi il segno dell'esponente di \rho è positivo e concludiamo che, quale che sia la direzione \theta\neq 0,\ \theta\neq \pi

\lim_{\rho\to 0}\rho^{3+2\lambda}\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta)=0\ \ \ \mbox{ per }-\frac{1}{2}\leq \lambda<0

Alla luce di questa considerazione riprendiamo il limite

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^3y^{2\lambda})}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

e procediamo come nel caso \lambda>0. Possiamo applicare il limite notevole del coseno

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{1}{2}(x^3y^{2\lambda})^2}{(x^2+y^2)^{2\lambda+1}}

e giungere a

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{2}\rho^{4}\cos^6(\theta)\sin^{4\lambda}(\theta)=0


In conclusione il limite vale zero per qualsiasi scelta di \lambda\in\mathbb{R}

Re: Limite in due variabili con coseno e parametro #90455

avt
manu_ela_78
Cerchio
Grazieeeee emt
sono commossa
  • Pagina:
  • 1
Os