Studiare una funzione in due variabili logaritmica

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Studiare una funzione in due variabili logaritmica #90436

avt
manu_ela_78
Cerchio
Mi aiutereste a studiare questa funzione logaritmica in due variabili?

f(x,y)=\ln\left(\frac{y+x}{x-2y}\right)
 
 

Re: Studiare una funzione in due variabili logaritmica #90437

avt
Omega
Amministratore
Ciao Manuela,

per studiare una funzione a due variabili dobbiamo seguire un procedimento leggermente diverso rispetto al classico metodo per lo studio di funzione in una variabile.

Nella fattispecie, le informazioni richieste riguardano essenzialmente:

1) il dominio in due variabili;

2) il segno;

3) massimi e minimi in due variabili.

f(x,y)=\ln\left(\frac{y+x}{x-2y}\right)

Partiamo dal dominio. Per determinare l'insieme di definizione in due variabili dobbiamo fare riferimento alle usuali condizioni che abbiamo studiato in Analisi 1; nel nostro caso è sufficiente mettere a sistema:

1) la condizione di esistenza del logaritmo (argomento strettamente maggiore di zero);

2) la condizione di non annullamento del denominatore del rapporto.

In un colpo solo

\frac{y+x}{x-2y}>0

Per risolvere una disequazione in due incognite si procede come nel caso di una singola incognita, solo che poi dobbiamo appoggiarci al metodo grafico per confrontare i segni dei vari termini ed individuare le porzioni del piano cartesiano in cui il rapporto è positivo/negativo. A titolo di cronaca, il metodo è spiegato nel dettaglio nella lezione sul dominio in due variabili; può esserti anche d'aiuto la lezione sulla risoluzione delle disequazioni nel piano.

Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore

N)\ y+x>0\ \to\ y>-x

che individua la porzione di piano al di sopra della bisettrice del secondo e quarto quadrante, in cui il numeratore è positivo. Al di sotto di essa il numeratore è negativo.

D)\ x-2y>0\ \to\ y<\frac{x}{2}

che individua la porzione di piano al di sotto della retta y=\frac{x}{2}, in cui il denominatore è positivo, mentre al di sotto di essa il denominatore è negativo.

In accordo con la regola dei segni, deduciamo che la condizione sull'argomento del logaritmo positivo individua la porzione di piano rappresentata in figura

dominio studio funzione 2 variabili

Ovviamente entrambe le rette y=-x,\ y=\frac{x}{2} sono esclude dal dominio.

Analiticamente

Dom(f)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}:\ x<0,\ \frac{x}{2}<y<-x\ ;\ x>0,\ -x<y<\frac{x}{2}\right\}


Passiamo al segno della funzione. Per studiarlo dobbiamo vincolare le nostre considerazioni al dominio appena individuato, ed in particolare dobbiamo risolvere la disequazione logaritmica

\ln\left(\frac{y+x}{x-2y}\right)>0

da cui

\frac{y+x}{x-2y}>1

con semplici conti algebrici

\frac{y+x-x+2y}{x-2y}>0

ossia

\frac{3y}{x-2y}>0

Ora ragioniamo in modo analogo rispetto a quanto fatto per il dominio; così facendo si ricava che la funzione:

- è positiva per

\\ x<0,\ \frac{x}{2}<y<0\\ \\ x>0,\ 0<y<\frac{x}{2}

- è negativa per

\\ x<0,\ 0<y<-x\\ \\ x>0,\ -x<y<0


Passiamo allo studio dei massimi e dei minimi in due variabili, che andrà chiaramente condotto sul dominio della funzione.

Innanzitutto osserviamo che la funzione è continua e derivabile nel proprio dominio. Inneschiamo quindi l'usuale procedimento e calcoliamo le derivate parziali, onde ricavare i punti stazionari della funzioni.

Applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta e la regola di derivazione del rapporto

\\ f_x(x,y)=\frac{1}{\frac{y+x}{x-2y}}\cdot \frac{1\cdot(x-2y)-(y+x)\cdot 1}{(x-2y)^2}=\\ \\ \\ =\frac{x-2y-y-x}{(y+x)(x-2y)}=\frac{-3y}{(y+x)(x-2y)}\\ \\ \\ \\ f_y(x,y)=\frac{1}{\frac{y+x}{x-2y}}\cdot \frac{1\cdot(x-2y)-(y+x)\cdot (-2)}{(x-2y)^2}=\\ \\ \\ =\frac{x-2y+2y+2x}{(y+x)(x-2y)}=\frac{3x}{(y+x)(x-2y)}

Se consideriamo il sistema per l'annullamento del gradiente vediamo subito che l'unico punto che si ricava algebricamente è l'origine

\begin{cases}\frac{-3y}{(y+x)(x-2y)}=0\\ \frac{3x}{(y+x)(x-2y)}=0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}y=0\\ x=0\end{cases}

ma (0,0) non è un punto stazionario perché la funzione non è ivi definita. Non vi sono dunque punti stazionari interni al dominio; ne deduciamo che la funzione non ammette massimi né minimi locali né assoluti, non essendo nemmeno definita sulla frontiera del dominio.
Ringraziano: Galois

Re: Studiare una funzione in due variabili logaritmica #90456

avt
manu_ela_78
Cerchio
Perfetto grazie!!!
Ringraziano: Omega
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Os