Limite in due variabili fratto con valore assoluto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Limite in due variabili fratto con valore assoluto #90427

avt
manu_ela_78
Cerchio
Devo calcolare un limite in due variabili di una funzione fratta in cui è presente un valore assoluto:

\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{(x-1)^3+2y^2}{y^2+|x-1|^3}

Come va risolto?
Vi ringrazio
 
 

Re: Limite in due variabili fratto con valore assoluto #90428

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt

Il metodo più veloce per studiare l'esistenza del limite, e per calcolarne il valore in caso affermativo, prevede qui di ricorrere ad una sostituzione che ci consenta di semplificarne l'espressione

\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{(x-1)^3+2y^2}{y^2+|x-1|^3}

Effettuiamo il seguente cambio di coordinate

\begin{cases}u=x-1\\ v=y\end{cases}

Attenzione perché non dobbiamo modificare solamente l'espressione della funzione; anche il punto cui tende (x,y) va modificato di conseguenza.

(u,v)\to (0,0)

In questo modo passiamo a

\lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{u^3+2v^2}{v^2+|u|^3}

Ora dobbiamo capire se il limite in due variabili esiste oppure no.

Per farci un'idea potremmo seguire la strada delle coordinate polari, ma qui non ne ricaveremmo particolari vantaggi.

Dato che i termini presenti nel rapporto sono semplici proviamo a farci un'idea sull'esistenza del limite ricorrendo al metodo delle direzioni.

Se consideriamo la direzione u=v otteniamo

\lim_{v\to 0}\frac{v^3+2v^2}{v^2+|v|^3}

Qui abbiamo un rapporto in cui dobbiamo considerare, sia a numeratore che a denominatore, gli infinitesimi di ordine inferiore (confronto tra infinitesimi)

\lim_{v\to 0}\frac{v^3+2v^2}{v^2+|v|^3}=\frac{2}{1}=2

Domandiamoci: c'è la possibilità (ossia una direzione) lungo la quale il limite assume un valore diverso?

Proviamo con v=u^{\frac{3}{2}}:

\lim_{u\to 0}\frac{u^3+2u^3}{u^3+|u|^3}

Alla luce della direzione scelta il precedente limite va calcolato per u\to 0^+, dunque il valore assoluto è superfluo

\lim_{u\to 0^+}\frac{u^3+2u^3}{u^3+u^3}=\frac{3}{2}

e abbiamo finito: il limite non esiste perché esistono due direzioni lungo cui assume valori distinti.
Ringraziano: CarFaby

Re: Limite in due variabili fratto con valore assoluto #90453

avt
manu_ela_78
Cerchio
Grazie, chiarissimi come sempre.

Solo un favore.

Senza bisogno di fare tutti i passaggi, mi potreste spiegare come mai la strada delle coordinate polari non porta a nulla?
Lo chiedo perchè, in coordinate polari a me il limite viene finito =2, quindi in condizioni normali sarei portata a pensare che tale limite esista. Non sarei affatto tentata dalla strada delle "passeggiate" sugli assi, a meno che qualche altro segnale non mi induca a pensare che il metodo delle coordinate polari non sia attendibile.

Re: Limite in due variabili fratto con valore assoluto #90458

avt
Omega
Amministratore
Essenzialmente l'uso delle coordinate polari non funziona qui perché non ti permette di escludere a colpo sicuro la dipendenza del limite dall'angolo (ossia dalla direzione).

Questo succede tipicamente quando hai a che fare con somme e differenze in cui non puoi raccogliere i termini trigonometrici... Ricorda che l'obiettivo del passaggio in coordinate polari consiste nel semplificare l'espressione della funzione! emt
Ringraziano: manu_ela_78
  • Pagina:
  • 1
Os