Serie a segni alterni con rapporto

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Serie a segni alterni con rapporto #90424

avt
manu_ela_78
Cerchio
Devo studiare la convergenza di una serie a segni alterni con un rapporto:

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n

Mi spieghereste come procedere?
Grazie mille
 
 

Serie a segni alterni con rapporto #90426

avt
Omega
Amministratore
Ciao Manuela,

quando abbiamo a che fare con una serie a termini di segno alterno ci sono sempre diverse possibili strade da seguire.

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n

Tra di esse ce n'è una che conviene sempre tentare, perché in caso positivo ci permette di risparmiare un sacco di fatica.

Mi sto riferendo allo studio della convergenza assoluta della serie: controlliamo se converge la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n\right|

Studiamo quindi la convergenza assoluta ricordando che essa è condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza semplice. In parole povere:

- la convergenza assoluta implica la convergenza semplice;

- di contro, se una serie non converge assolutamente potrebbe comunque convergere semplicemente (in questo caso dovremmo provare con un altro metodo di studio).

Consideriamo la serie dei valori assoluti, che si riduce a

\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n\right|

e, poiché il rapporto è necessariamente positivo essendo n un numero naturale, possiamo scrivere

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n

Poiché stiamo lavorando con una serie a termini positivi, possiamo applicare il criterio della radice

\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n}

che equivale a

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)

Il limite appena scritto è molto semplice da calcolare: è sufficiente procedere per confronto tra infiniti di successioni

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)=\frac{3}{4}

Poiché il valore del limite è minore di 1, concludiamo che la serie dei valori assoluti converge. Di conseguenza la serie considerata converge assolutamente e dunque pure semplicemente.
Ringraziano: CarFaby

Re: Serie a segni alterni con rapporto #90452

avt
manu_ela_78
Cerchio
Benissimo. Infatti davanti alle serie a segni alterni di solito mi affido a Leibniz ma in questo caso non mi ha aiutato molto visto che la derivata della funzione associata risultava sempre positiva.

In ogni caso, sarebbe stato corretto, anziché usare il criterio della radice, dire che la successione in modulo, per n tendente ad infinito, tende a

\left (\frac{3}{4}  \right )^{n}

che converge essendo una serie geometrica con -1<q<1\ ?

Re: Serie a segni alterni con rapporto #90457

avt
Omega
Amministratore
No: in primo luogo non dovresti dire che il termine generale tende a

\left (\frac{3}{4}  \right )^{n}

piuttosto, dovresti dire che la serie dei moduli ha termine generale asintoticamente equivalente a quella cosa lì.

Al di là di questa correzione semantica, l'equivalenza asintotica presupposta non vale e dunque non potresti applicare il metodo che proponi. Questo perché

\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n}{\left(\frac{3}{4}\right)^n}\neq 1

e quindi non puoi ricondurti per confronto asintotico alla serie geometrica con ragione q=\frac{3}{4}.

Qui in assoluto conviene affidarsi al criterio della radice. emt

Re: Serie a segni alterni con rapporto #90460

avt
manu_ela_78
Cerchio
Ma il limite a numeratore dentro la parentesi non viene 3/4 per confronto tra infiniti?

(Scusate l'ignoranza ma mi vado a nascondere solo dopo aver capito)

Re: Serie a segni alterni con rapporto #90462

avt
Omega
Amministratore
Figurati! emt

La tua domanda mette in luce l'errore che commetti: quando calcoli il limite del rapporto per valutare la presunta equivalenza asintotica, dimentichi che il numeratore è elevato alla n.

Non hai un rapporto e basta: hai un rapporto elevato a potenza. Non puoi tralasciare quell'esponente, che influisce pesantemente sul comportamento di quel termine... A titolo di cronaca, quel termine soddisfa la seguente equivalenza asintotica

\left(\frac{3n+1}{4n+7}\right)^n\sim_{n\to +\infty}e^{-\log\left(\frac{4}{3}\right)n}

Da qui intuirai subito, seppur a posteriori, l'enorme convenienza del criterio della radice.

Re: Serie a segni alterni con rapporto #90463

avt
manu_ela_78
Cerchio
capito!!!
Mi avete aiutato tantissimo grazie infinite !!!
Ringraziano: Omega
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Os