Limite fratto con forma indeterminata 0/0 e termine x^x

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Limite fratto con forma indeterminata 0/0 e termine x^x #90412

avt
paimezzi
Cerchio
Non riesco a risolvere il seguente limite fratto con una forma indeterminata 0/0 e un termine x^x

\lim_{x\to 1}\frac{x^x-1}{1+\cos(\pi x)}

Essendo una forma indeterminata 0/0, ho provato con Taylor e poi con tutti gli altri metodi a me conosciuti ma niente da fare. Dal grafico intuisco che il limite non esiste dato che per x\to 1^+ va a +infinito e per x\to 1^- va a -infinito.

Grazie e ciao
 
 

Limite fratto con forma indeterminata 0/0 e termine x^x #90417

avt
Omega
Amministratore
Come hai correttamente osservato il limite

\lim_{x\to 1}\frac{x^x-1}{1+\cos(\pi x)}=(\bullet)

genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right] al tendere di x\to 1.

Il primo passo da compiere prevede di riscrivere il termine x^x in una forma più gestibile. Ricordando che la funzione y=x^x è definita solamente per x>0, possiamo ricorrere all'identità logaritmo-esponenziale

z=e^{\log(z)}\ \ \ \mbox{ se }z>0

quindi riscriviamo il limite nella forma

(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{e^{\log(x^x)}-1}{1+\cos(\pi x)}=

Ora usiamo una nota proprietà dei logaritmi

=\lim_{x\to 1}\frac{e^{x\log(x)}-1}{1+\cos(\pi x)}=(\bullet\bullet)

e osserviamo che per x\to 1 risulta che

x\log(x)\to 0

Ciò ci permette di sfruttare l'equivalenza asintotica derivante dal limite notevole dell'esponenziale

\lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\ \to\ e^{f(x)}-1\sim_{f(x)\to 0}f(x)

e di passare a calcolare il limite equivalente

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{x\log(x)}{1+\cos(\pi x)}=

Qui abbiamo ancora a che fare con una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Usiamo il teorema di de l'Hopital (lascio a te la verifica delle altre ipotesi richieste dal teorema).

Procediamo: deriviamo separatamente numeratore e denominatore. Per il numeratore ci servirà la regola di derivazione del prodotto di funzioni (e la tabella delle derivate fondamentali, just in case)

=\lim_{x\to 1}\frac{\log(x)+x\cdot \frac{1}{x}}{-\sin(\pi x)\cdot \pi}=

ossia

=\lim_{x\to 1}\frac{\log(x)+1}{-\pi\sin(\pi x)}=[\bullet]

A questo punto passiamo al limite e nel farlo notiamo che per x\to 1^- e per x\to 1^+ il denominatore ha comportamenti molto diversi tra loro:

\pi x\ \to\ \begin{cases}\pi^-\mbox{ se }x\to 1^-\\ \pi^+\mbox{ se }x\to 1^+\end{cases}

In riferimento al grafico della funzione seno otteniamo

\pi\sin(\pi x)\ \to\ \begin{cases}0^+\mbox{ se }x\to 1^-\\ 0^-\mbox{ se }x\to 1^+\end{cases}

includiamo il segno meno:

-\pi\sin(\pi x)\ \to\ \begin{cases}0^-\mbox{ se }x\to 1^-\\ 0^+\mbox{ se }x\to 1^+\end{cases}

Poiché il numeratore tende pacificamente ad 1 in entrambi i casi, possiamo concludere che il limite per x\to 1 da sinistra vale

\lim_{x\to 1^-}\frac{\log(x)+1}{-\pi\sin(\pi x)}=-\infty

mentre il limite che tende a 1 da destra vale

\lim_{x\to 1^+}\frac{\log(x)+1}{-\pi\sin(\pi x)}=+\infty

Osserviamo che il limite destro e il limite sinistro sono infiniti discordi, pertanto il limite bilatero [\bullet] non esiste.
Ringraziano: CarFaby, paimezzi, Al♠️
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