Sviluppo asintotico con O-grande

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Sviluppo asintotico con O-grande #90379

avt
Christian1988
Cerchio
Ecco un esercizio sugli sviluppi asintotici con O-grande che non riesco a risolvere.

Devo determinare lo sviluppo asintotico per x\to 0 della funzione

f(x)=\sqrt{1+2x-x^2+2x^3+O(x^4)}

Grazie in anticipo!
 
 

Sviluppo asintotico con O-grande #90400

avt
Omega
Amministratore
Ciao Christian1988,

rispondo in via del tutto eccezionale, essendo Domenica. emt

Prima di procedere vale la pena di richiamare il recentissimo topic Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un'imprecisione e premettere che qui dovremo ragionare in modo analogo...

... Però, al posto degli o-piccolo, abbiamo a che fare con un O-grande:

f(x)=\sqrt{1+2x-x^2+2x^3+O(x^4)}

Vale quindi la pena di richiamare la definizione: diciamo che g(x) è un O-grande di h(x) per x\to a\in\overline{\mathbb{R}}, e scriviamo

g=O(h)

Se esistono un intorno di a ed un numero reale M\in\mathbb{R} tali che per ogni x in tale intorno risulti che

|g(x)|\leq M|h(x)|

Come puoi vedere, c'è una grossa differenza tra un O-grande ed un o-piccolo, perché cambia completamente la logica secondo cui viene effettuata la stima:

g=o(h)\mbox{ per }x\to a\mbox{ se }\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=0

Per risolvere l'esercizio dovremo fare affidamento agli sviluppi in serie di Taylor. Se riscriviamo la funzione

f(x)=\sqrt{1+2x-x^2+2x^3+O(x^4)}

è facile accorgersi che per x\to 0 risulta che

y=2x-x^2+2x^3+O(x^4)\ \to\ 0

quindi possiamo servirci dello sviluppo di Taylor-Mc Laurin notevole della funzione

f(y)=\sqrt{1+y}

scegliendo un opportuno ordine di sviluppo, per poi sostituire l'espressione di y. Nota che torna tutto perché uno sviluppo di Taylor-Mc Laurin è per definizione centrato in zero e per noi y_{x\to 0}0.

Ci sono due aspetti cui prestare particolare attenzione:

1) Noi siamo abituati a scrivere gli sviluppi di Taylor con un resto individuato da un o-piccolo (resto di Peano). È possibile esprimere lo sviluppo sotto forma di O-grande?

2) A quale ordine di sviluppo fermarsi?

Rispondiamo alle precedenti domande:

1) Sì, è possibile. La teoria ci permette di passare dalla formula

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{i}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]

alla formula

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{i}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+O[(x-x_0)^{n+1}]

In pratica si sostituisce l'o-piccolo con l'O-grande e si aumenta di un ordine l'esponente dell'argomento.

2) Alla luce della risposta 1), ci arresteremo ad un ordine concorde con l'imprecisione presente nell'espressione della funzione f. In buona sostanza lo sbarramento dovrà avvenire ad un O(x^4) e dovremo inglobare in esso tutti gli infinitesimi di ordine superiore.

Ora che abbiamo le premesse teoriche, nella pratica sarà tutto più semplice. Cercherò nel frattempo di soffermarmi sul passaggio dalla formula con o-piccolo a quella con O-grande, in modo da fugare qualsiasi potenziale dubbio. emt

\\ f(y)=\sqrt{1+y}\\ \\ y=2x-x^2+2x^3+O(x^4)

Proviamo a sviluppare la funzione al quarto ordine e scriviamo l'usuale sviluppo in serie di Taylor con resto di Peano e centro in y_0=0

f(y)=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+\frac{y^3}{16}-\frac{5y^4}{128}+o(y^4)

L'alternativa con resto sotto forma di O-grande è

f(y)=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+\frac{y^3}{16}-\frac{5y^4}{128}+O(y^5)

Poiché il termine che genera l'infinitesimo di ordine inferiore nell'espressione di y è 2x, capiamo subito che il precedente sviluppo ci manderebbe "fuori quota" e ci costringerebbe a fare calcoli non richiesti. A noi interessa tutto ciò che non va oltre O(x^4).

Diminuiamo lo sviluppo di un ordine

f(y)=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+\frac{y^3}{16}+o(y^3)

L'alternativa con resto sotto forma di O-grande è

f(y)=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+\frac{y^3}{16}+O(y^4)

Ora sostituiamo l'espressione di y nello sviluppo

f(x)=1+\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))}{2}-\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))^2}{8}+

+\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))^3}{16}+O((2x-x^2+2x^3+O(x^4))^4)

A questo punto dobbiamo sviluppare i calcoli e ragionare in modo analogo rispetto all'altro topic, ricordando però che qui ci sono di mezzo gli O-grande.

f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}+x^3+\frac{1}{2}O(x^4))-\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))^2}{8}+

+\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))^3}{16}+O((2x-x^2+2x^3+O(x^4))^4)

Nello sviluppo delle potenze ricordiamoci che dobbiamo limitarci al O(x^4): tutto il resto verrà inglobato. Il modo più furbo di procedere prevede di considerare a mente le potenze dei singoli termini, i doppi ed i tripli prodotti e tralasciare sin da subito ciò che supera la potenza quinta.

Ricorda poi che valgono diverse regole dell'algebra degli O-grande, tra cui in particolare

\\ g(x)O(h(x))=O(g(x)h(x))\\ \\ O(g(x))O(h(x))=O(g(x)h(x))\\ \\ O(cg(x))=O(g(x))\mbox{ con }c\in\mathbb{R},\ c\neq 0

Nello sviluppo del quadrato possiamo limitarci a scrivere solamente il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine, il doppio prodotto tra il primo ed il secondo addendo, il doppio prodotto tra il primo ed il terzo addendo

f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}+x^3+\frac{1}{2}O(x^4))-\frac{4x^2+x^4-4x^3+8x^4}{8}+

+\frac{(2x-x^2+2x^3+O(x^4))^3}{16}+O((2x-x^2+2x^3+O(x^4))^4)


Nello sviluppo del cubo possiamo invece limitarci a scrivere il cubo del primo termine ed il triplo prodotto tra il quadrato del primo termine per il secondo.
(Suggerimento: se non sei avvezzo allo sviluppo del cubo di un quadrinomio puoi provare a scriverlo per esteso: (A+B+C+D)^3=...)

f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}+x^3+\frac{1}{2}O(x^4))-\frac{4x^2+x^4-4x^3+8x^4}{8}+

+\frac{8x^3-3\cdot 4x^2\cdot (-x^2)}{16}+O((2x-x^2+2x^3+O(x^4))^4)

Riguardo alla quarta potenza, nulla sopravvive all'infuori della quarta potenza del primo termine (tutte le altre potenze sono necessariamente superiori)

f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}+x^3+\frac{1}{2}O(x^4))-\frac{4x^2+x^4-4x^3+8x^4}{8}+

+\frac{8x^3-3\cdot 4x^2\cdot (-x^2)}{16}+O(x^4)

Perché è stato possibile riscrivere l'O-grande di quella sfilza di termini come un O-grande dell'infinitesimo di ordine inferiore? Semplice: la risposta risiede nella definizione stessa di O-grande! emt

Ora non ci resta che effettuare un paio di semplici calcoli. Otteniamo

1+x-x^2+2x^3-\frac{x^4}{4}+O(x^4)

ma naturalmente il termine con esponente grande viene inglobato nell'O-grande, in accordo con la definizione

-\frac{x^4}{4}+O(x^4)=O(x^4)

Ci resta così

f(x)=1+x-x^2+2x^3+O(x^4)
Ringraziano: Galois, CarFaby, Christian1988

Re: Sviluppo asintotico con O-grande #90408

avt
Christian1988
Cerchio
Sei stato chiarissimo, grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os