Maggiorante e minorante di una serie per confronto integrale

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Maggiorante e minorante di una serie per confronto integrale #90350

avt
Christian1988
Cerchio
Ecco un esercizio sull'uso del confronto integrale per trovare un maggiorante, un minorante ed il comportamento asintotico delle somme parziali di una serie.

Traccia: usare il confronto integrale per determinare maggiorante, minorante e comportamento asintotico delle somme parziali della serie:

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}
 
 

Re: Maggiorante e minorante di una serie per confronto integrale #90354

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come risolvere l'esercizio.

Ovviamente la parte più delicata consiste nel capire come sfruttare gli integrali per imporre una minorazione ed una maggiorazione per le somme parziali della serie

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}

Nel caso non lo ricordassi, la generica somma parziale della serie è definita come segue (eventualmente vedi cos'è una serie numerica)

S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}

Ciò ci permette di definire la successione delle somme parziali della serie

\{S_n\}_n=\left\{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right\}_n

La serie è quindi definita come limite della successione delle somme parziali:

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}=\lim_{n\to +\infty}S_n

La traccia dell'esercizio ci chiede di usare il confronto integrale per individuare un minorante ed un maggiorante della somma parziale S_n e di sfruttare queste informazioni per dedurre il comportamento asintotico della serie.

Per risolverlo ci basta osservare che vale la seguente catena di disuguaglianze

\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx

la quale si basa sul significato geometrico dell'integrale e fornisce una stima grezza, ma molto efficace, sul valore della somma parziale.

Ora dobbiamo semplicemente calcolare gli integrali e per farlo sfruttiamo la definizione di potenza con esponente fratto

\int_1^n x^{-\frac{1}{2}}dx\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \int_1^{n+1} x^{-\frac{1}{2}}dx

Grazie alla formula per l'integrale di una potenza

\left[\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]_1^n\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \left[\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]_1^{n+1}

da cui ricaviamo

\left[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_1^n\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \left[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_1^{n+1}

Ricordiamoci della regoletta per le frazioni di frazioni

\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]_1^n\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \left[2x^{\frac{1}{2}}\right]_1^{n+1}

ed effettuiamo le valutazioni agli estremi

2\sqrt{n}-2\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq 2\sqrt{n+1}-2

Abbiamo quindi individuato un minorante ed un maggiorante per la somma parziale:

\\ m(n)=2\sqrt{n}-2\\ \\ M(n)=2\sqrt{n+1}-2

Qui non dovresti avere problemi nel determinare il comportamento asintotico della successione delle somme parziali; infatti ispirandoci al teorema del confronto per le successioni dobbiamo semplicemente individuare un equivalente asintotico per gli estremi della catena

\\ \lim_{n\to +\infty}\frac{2\sqrt{n}-2}{2\sqrt{n}}=1\ \to\ 2\sqrt{n}-2\sim_{n\to+\infty}2\sqrt{n}\\ \\ \\ \lim_{n\to +\infty}\frac{2\sqrt{n+1}-2}{2\sqrt{n}}=1\ \to\ 2\sqrt{n+1}-2\sim_{n\to+\infty}2\sqrt{n}

e quindi

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim_{n\to +\infty}2\sqrt{n}

PS: ovviamente la serie diverge, trattandosi di una serie armonica generalizzata con esponente minore di 1.
Ringraziano: CarFaby, Christian1988

Re: Maggiorante e minorante di una serie per confronto integrale #90359

avt
Christian1988
Cerchio
Grazie mille Omega, sei stato come sempre chiarissimo!

Per quanto riguarda l'ultima parte, dove dici che la serie diverge, è necessario fare il confronto con una serie armonica o è sufficiente dire che siccome l'esponente è minore di 1 allora diverge?
Ringraziano: Omega

Re: Maggiorante e minorante di una serie per confronto integrale #90364

avt
Omega
Amministratore
Non bisogna fare alcun confronto: quella è una serie armonica generalizzata.

Sono sicuro che leggendo l'omonima lezione non potrai avere dubbi in merito. emt
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Os