Limite parametrico in due variabili

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Limite parametrico in due variabili #90334

avt
manu_ela_78
Cerchio
Salve amici di youmath, sono di fronte ad un limite parametrico in due variabili

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{c}\sin(xy)}{x^2+y^2}

Il testo chiede di verificare per quali valori di c il limite esiste.

Come ragionare nel caso di limiti parametrici? Esistono delle linee guida da seguire?

Innanzitutto la presenza di quel x^2+y^2 a denominatore mi suggerisce il passaggio in coordinate polari.
Poi mi domando:

1) è possibile applicare l'equivalenza asintotica del seno per (x,y)\to (0,0) che è circa uguale al solo fattore xy e solo dopo effettuare il passaggio in coordinate polari?

2) Nei casi, diversi da questo, in cui alla fine il raggio si semplifica e ci viene un valore finito tipo 2, 1/2 ecc che significa, che il limite non esiste perché non dipende più dal raggio?

Insomma, potete aiutarmi a capire meglio questo argomento e soprattutto come si deve ragionare in questi casi ?

Grazie mille,
Manuela
 
 

Re: Limite parametrico in due variabili #90345

avt
Omega
Amministratore
Eccomi emt

Prima ti mostro il procedimento di risoluzione del limite parametrico proposto, dopodiché risponderò ai tuoi dubbi generali.

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{c}\sin(xy)}{x^2+y^2}

dove si intende c\in\mathbb{R}.

Poiché dobbiamo calcolare il limite per (x,y)\to(0,0) è evidente che l'argomento del seno tende a zero

xy\to 0

di conseguenza possiamo applicare l'equivalenza asintotica del limite notevole corrispondente

\sin(xy)\sim_{x\to 0}xy

e passare a calcolare il limite equivalente

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{c}xy}{x^2+y^2}

ossia, dalle proprietà delle potenze

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{c+1}y}{x^2+y^2}

Ora, come hai correttamente osservato, conviene effettuare il passaggio in coordinate polari

\lim_{\rho\to 0}\frac{(\rho\cos(\theta))^{c+1}(\rho\sin(\theta))}{(\rho\cos(\theta))^2+(\rho\cos(\theta))^2}

Con un semplice passaggio algebrico, e ricordando che vale l'identità fondamentale della trigonometria (formule trigonometriche)

\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^{c+2}\cos^{c+1}(\theta)\sin(\theta)}{\rho^2}

da cui

\lim_{\rho\to 0}[\rho^{c}\cos^{c+1}(\theta)\sin(\theta)]

Ora possiamo ragionare sui vari casi che discriminano il comportamento del termine \rho^c. Trattandosi di una potenza per x\to 0

\rho^{c}\to_{c\to 0}\begin{cases}0\mbox{ se }c>0\\ 1\mbox{ se }c=0\\ \infty\mbox{ se }c<0 \end{cases}

Quindi sono questi i casi su cui dobbiamo ragionare.


CASO c>0

Immediato:

\lim_{\rho\to 0}[\rho^{c}\cos^{c+1}(\theta)\sin(\theta)]=0

infatti la presenza del termine \rho^{c} nel prodotto fa in modo che il limite non dipenda dall'angolo \theta. Tieni presente che il seno ed il coseno sono quantità limitate nell'intervallo [-1,+1], quindi

0\cdot \mbox{valore finito}=0


CASO c=0

Qui possiamo riscrivere il limite come

\lim_{\rho\to 0}[1\cdot \cos(\theta)\sin(\theta)]

ed è quindi evidente che il limite non esiste, perché dipende dall'angolo \theta.


CASO c<0

Grazie alla regola per le potenze con esponente negativo possiamo riscrivere

\lim_{\rho\to 0}\frac{\cos^{c+1}(\theta)\sin(\theta)}{\rho^{-c}}=0

dove -c>0 e quindi \rho^{-c}\to_{\rho\to 0}0. Questo passaggio serve a mettere in evidenza che a numeratore potremmo avere una quantità finita positiva, negativa o nulla, mentre a denominatore avremo sempre e comunque un infinitesimo. Il limite dipende dall'angolo e di conseguenza non esiste.


Ora veniamo alle tue domande:

Come ragionare nel caso di limiti parametrici? Esistono delle linee guida da seguire?

Purtroppo è impossibile rispondere in modo specifico a questa domanda, perché le vie parametriche sono infinite. emt
In linea generale devi sempre considerare il termine parametrico e cercare di capire quali sono i range del parametro che ne modificano il comportamento.
Qui era facile, ma a livello teorico la situazione può tranquillamente degenerare...

1) è possibile applicare l'equivalenza asintotica del seno per (x,y)\to (0,0) che è circa uguale al solo fattore xy e solo dopo effettuare il passaggio in coordinate polari?

Certo, perché un'equivalenza asintotica ti conduce ad un limite equivalente. Occhio solo a non scrivere "che è circa uguale a" perché non è matematicamente corretto: piuttosto abbandona il nobile intento di evitare le ripetizioni e scrivi "che è asintoticamente equivalente a".

2) Nei casi, diversi da questo, in cui alla fine il raggio si semplifica e ci viene un valore finito tipo 2, 1/2 ecc che significa, che il limite non esiste perché non dipende più dal raggio?

Ciò che determina la non esistenza di un limite non è la dipendenza dal raggio (che è la variabile su cui all'atto pratico si passa al limite) bensì la dipendenza dall'angolo.
Ricorda: un limite in due variabili esiste se il suo valore non dipende dalla direzione lungo cui avviene il passaggio al limite. Di contro, se un limite in due variabili assume valori diversi anche solo per due direzioni distinte, si conclude per definizione che esso non esiste.

PS: la lezione per un ripasso fondamentale è quella sui limiti in due variabili. emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Limite parametrico in due variabili #90346

avt
manu_ela_78
Cerchio
Benissimo, ogni volta mi sorprendete per la vostra chiarezza, avete il dono di parlare di matematica come se fosse una favoletta!

Per farvi comprendere meglio il mio dubbio sul raggio che si semplifica forse dovrei aprire un altro topic perché riguarda il caso in cui la funzione di r a cui arriviamo quando passiamo in coordinate polari non tende a 0 per r che tende a 0, ma tende a un numero finito nonostante il limite non esista. Questo, almeno secondo le spiegazioni del mio prof, dovrebbe farci allarmare sulla validità del metodo scelto e cambiare strada.

Comunque per questo esercizio sono soddisfatta, ho capito tutto, grazie!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os