Retta incidente due rette sghembe

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Retta incidente due rette sghembe #90206

avt
Final
Punto
Svolgendo esercizi in preparazione dell'esame di Geometria ne ho uno sul calcolo della retta incidente due rette sghembe, per il quale ho avuto alcune difficoltà.

Si considerino le seguenti rette:

\\ s_1:\ \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{cases}\\ \\ \\ s_2:\ \begin{cases}x=-1-t \\ y=-\frac{1}{2}-t\\ z=1+2t\end{cases}

Dopo aver verificato che sono sghembe, determinare la retta orientata r parallela all'asse z che incide entrambe. Infine decidere se, lungo la retta determinata, si incontra prima s_1\mbox{ o }s_2.

Credo di essere riuscito tranquillamente a verificare che esse sono sghembe: basta osservare che hanno direzione diversa e non hanno un punto di intersezione. Il resto dell'esercizio non sono stato in grado di svolgerlo. Potreste cortesemente darmi una mano?

Vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Re: Retta incidente due rette sghembe #90214

avt
Omega
Amministratore
Eccoci!

Nel corso della mia risposta cercherò di soffermarmi sulle considerazioni teoriche di rilievo in modo da fugare qualsiasi tuo dubbio. emt

Consideriamo le due rette

\\ s_1:\ \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{cases}\\ \\ \\ s_2:\ \begin{cases}x=-1-t \\ y=-\frac{1}{2}-t\\ z=1+2t\end{cases}

Come hai correttamente osservato, per verificare che s_1,s_2 sono due rette sghembe basta controllare che:

- non siano parallele;

- non siano incidenti (ossia non abbiano alcun punto di intersezione).

Noi disponiamo delle equazioni parametriche delle due rette, il che è un gran vantaggio. Infatti, dalle equazioni parametriche è immediato ricavare le direzioni delle rette assegnate

\\ s_1:\ \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{cases}\ \to\ v_1=[1,-1,2]\\ \\ \\ s_2:\ \begin{cases}x=-1-t \\ y=-\frac{1}{2}-t\\ z=1+2t\end{cases}\ \to\ v_2=[-1,-1,2]

Dato che i due vettori che individuano le direzioni sono linearmente indipendenti (ossia non differiscono a meno di un coefficiente scalare), si vede subito che le due rette non sono parallele né coincidenti.

Per verificare che le due rette non sono incidenti, basta considerare il sistema di confronto tra le coordinate dei generici punti appartenenti alle rispettive rette

\begin{cases}t=-1-s\\ 1-t=-\frac{1}{2}-s\\ 1+2t=1+2s\end{cases}

dove bisogna indicare i rispettivi parametri con nomi diversi, e verificare che non esiste alcuna coppia (t,s) che risolve il sistema, ossia non esiste alcun punto comune alle due rette.


Ora passiamo alla parte dell'esercizio su cui hai dubbi. Innanzitutto vogliamo determinare la retta orientata r parallela all'asse z che incide entrambe le rette.

Per farlo potremmo provare a scrivere le equazioni della retta r tenendo conto che essa è parallela all'asse z, quindi deve avere direzione della forma [0,0,\alpha] con \alpha\in\mathbb{R}. Questo approccio però rischierebbe di rivelarsi troppo confusionario.

Piuttosto procediamo nel modo seguente: la retta r avrà equazione parametrica vettoriale della forma

P=P_0+tv

dove P_0 è un punto di passaggio e v un vettore che individua la direzione della retta.

Un modo del tutto equivalente per scrivere la precedente equazione è il seguente:

P=A+t(B-A)

dove A è un punto di passaggio, e la differenza B-A individua la direzione della retta come vettore applicato nel punto A che punta su B.

Questo modo di esprimere la direzione si basa sulla teoria elementare dei vettori ed è estremamente utile nel contesto del nostro esercizio!

Consideriamo allora due generici punti delle rette s_1,s_2

\\ s_1:\ \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{cases}\\ \\ \\ s_2:\ \begin{cases}x=-1-s \\ y=-\frac{1}{2}-s\\ z=1+2s\end{cases}

indicando come al solito i parametri con lettere diverse, e consideriamo la differenza

\overbrace{[t,1-t,1+2t]}^{s_1}-\overbrace{\left[-1-s,-\frac{1}{2}-s,1+2s\right]}^{s_2}

Questa generica differenza esprime tutte le possibili direzioni che congiungono i punti della retta s_2 con i punti della retta s_1.

Imponiamo che la generica direzione sia parallela all'asse z

[t,1-t,1+2t]-\left[-1-s,-\frac{1}{2}-s,1+2s\right]=[0,0,\alpha]

dove \alpha\in\mathbb{R} è un qualsiasi numero reale. In buona sostanza ci interessa che la differenza tra le prime due coordinate generiche si annulli

\begin{cases}t-(-1-s)=0\\ \\ 1-t-\left(-\frac{1}{2}-s\right)=0\end{cases}

da cui la soluzione

t=\frac{1}{4}\ ,\ s=-\frac{5}{4}

Abbiamo così individuato i due punti delle rette s_1,s_2 che individuano la retta r. Li otteniamo per sostituzione nelle equazioni originarie

\\ s_1:\ \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{cases}\ \overbrace{\to}^{t=\frac{1}{4}}\ P_1=\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right)\\ \\ \\ s_2:\ \begin{cases}x=-1-s \\ y=-\frac{1}{2}-s\\ z=1+2s\end{cases}\ \overbrace{\to}^{s=-\frac{5}{4}}\ P_2=\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{3}{2}\right)

Per scrivere le equazioni parametriche della retta r basta quindi ricorrere all'equazione parametrica vettoriale

P=A+t(B-A)

Se vogliamo scriverla in modo che sia orientata concordemente con l'asse z non dobbiamo fare altro che scegliere B=P_1,\ A=P_2 così che la differenza P_1-P_2 abbia quota z positiva

P=P_2+t(P_1-P_2)

In forma scalare

r:\ \begin{cases}x=\frac{1}{4}\\ y=\frac{3}{4}\\ z=-\frac{3}{2}+t\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)\end{cases}

ossia

r:\ \begin{cases}x=\frac{1}{4}\\ y=\frac{3}{4}\\ z=-\frac{3}{2}+3t\end{cases}

È tutto. Determinare quali sia la retta che r incide prima tra s_1,\ s_2 è un gioco da ragazzi, non credi? emt
Ringraziano: CarFaby, Final

Re: Retta incidente due rette sghembe #90230

avt
Final
Punto
Ciao Omega, ti ringrazio molto per la risposta. emt

Ho analizzato il procedimento risolutivo proposto, mi sono ritrovato su tutto, grazie.

Ho voluto includere nella mia richiesta anche l'ultima domanda poiché, purtroppo, in un esercizio simile proposto in classe il nostro professore ha fornito una risoluzione completamente opposta rispetto a quella dell'esercitatore del corso, quindi sono andato in confusione sul come capire, seguendo una retta orientata, quale punto venga prima di un altro.

Ora, siccome abbiamo determinato la retta desiderata e l'abbiamo orientata concordemente con l'asse z, credo che incida prima la retta s_2, poi la retta s_1 (dimmi se sbaglio).

Se sei d'accordo potrei proporti una situazione analoga tratta da un altro esercizio che ho svolto recentemente, nel quale bisogna determinare quale punto sia situato prima di un altro seguendo una retta orientata data.

Se ritieni che io debba aprire un altro thread lo capisco, non fa niente emt
Grazie ancora!
Ringraziano: Omega

Re: Retta incidente due rette sghembe #90243

avt
Omega
Amministratore
Hai centrato il punto! La retta r incontra prima s_2 rispetto a s_1; in questo caso non è difficile vederlo perché:

- la retta r è orientata in modo concorde rispetto all'asse delle z;

- il punto P_2 ha una quota minore rispetto a P_1.


Per il resto, di norma ti chiederei di aprire un nuovo topic, ma se mi proponi uno svolgimento dettagliato possiamo fare uno strappo alla regola. emt
Ringraziano: Final

Re: Retta incidente due rette sghembe #90246

avt
Final
Punto
Grazie, sei gentilissimo emt

Si considerino i punti P=\left ( 1,0,1 \right ), Q=\left ( 0,1,0 \right ), T=\left ( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right )

e la retta s:\left\{\begin{matrix}x=u\\y=1-u\\z=u\end{matrix}\right.

Si richiede di determinare come siano orientati sulla retta s i tre punti dati.


Io l'ho pensata in questo modo: sostituisco ogni singolo punto nell'equazione parametrica della retta s, ottenendo in questo modo tre distinti valori del parametro u.

Sostituendo P=\left ( 1,0,1 \right ) nell'equazione della retta, si determina immediatamente u=1;

Eseguo il medesimo procedimento con il punto Q=\left ( 0,1,0 \right ), ottenendo u=0;

Infine, sostituendo il punto T=\left ( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ) all'equazione della retta, ottengo u=\frac{1}{2}.

Ora, credo che l'orientamento dei tre punti sia determinato per valori di u crescenti, quindi vi è prima il punto Q, poi il punto T, infine P.
(Secondo l'esercitatore del corso, è esattamente l'opposto).

Ti chiedo scusa per il tempo rubato, e ti ringrazio infinitamente emt

Re: Retta incidente due rette sghembe #90256

avt
Omega
Amministratore
Il metodo che hai seguito non tiene conto del fatto che la parametrizzazione potrebbe descrivere la retta in modo concorde o discorde rispetto al verso, al crescere dei valori del parametro.

Il crescere dei valori del parametro è dunque irrilevante, a priori ed in generale, rispetto al verso seguito dalla retta.

Ciò che individua il verso è il vettore direzione della retta v a partire dal suo punto di applicazione A, che puoi desumere facilmente dall'equazione parametrica vettoriale

\\ A(t)=A+tv\\ \\ A(t)=\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\right]+t\left[\begin{matrix}1 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\right]

Considerando le differenze P-Q,\ T-Q,\ T-P dovresti essere in grado di capire come sono disposti i punti sulla retta. emt
Ringraziano: CarFaby, Final

Re: Retta incidente due rette sghembe #90261

avt
Final
Punto
Grazie Omega emt

Credo di aver capito tutto correttamente, ho provato a rifare un paio di esercizi simili ed i risultati sono coerenti a quelli proposti dall'esercitatore del corso.

Mi dispiace di averti preso del tempo extra, se avessi nuovamente bisogno di aiuto farò in modo che la cosa non si ripeta.

Buona serata e buon lavoro!
Ringraziano: Omega

Re: Retta incidente due rette sghembe #90295

avt
Omega
Amministratore
Figurati, nessuna perdita di tempo! emt

Alla prossima!
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Os