Serie parametrica con rapporto e logaritmi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Serie parametrica con rapporto e logaritmi #90005

avt
judd79
Cerchio
Come posso studiare questa serie parametrica in cui sono presenti dei logaritmi e delle potenze di n?

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n^2+\alpha\log^3(n)}{n^{\alpha}\log^5(n)}

Vi ringrazio
 
 

Re: Serie parametrica con rapporto e logaritmi #90016

avt
Omega
Amministratore
Per studiare il carattere della serie proposta

\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^2+\alpha\log^3(n)}{n^{\alpha}\log^5(n)}

dovremo ragionare facendo attenzione agli ordini di infinito e al comportamento del termine n^{\alpha}.

Sappiamo che

n^{\alpha}\ \to\ \begin{cases}+\infty\mbox{ se }\alpha>0\\ 1\mbox{ se }\alpha=0\\ 0\mbox{ se }\alpha<0\end{cases}

Questa sarà la suddivisione in casi che prenderemo in considerazione nella risoluzione dell'esercizio.


CASO \alpha<0

In tale eventualità è evidente che -\alpha>0 e le proprietà delle potenze ci consentono di riscrivere la serie nella forma

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n^{-\alpha}(n^2+\alpha\log^3(n))}{\log^5(n)}

ossia

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n^{-\alpha+2}+\alpha n^{-\alpha}\log^3(n)}{\log^5(n)}

Qui non c'è molto da fare: basta ragionare per un secondo sugli ordini di infinito e confrontare gli infiniti di ordine principale. In particolare, le potenze di n divergono ben più velocemente dei logaritmi, per cui il termine generale della serie diverge a +infinito.

Poiché la serie non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di una serie, essa non converge.

Poiché essa è definitivamente a termini positivi, concludiamo che essa diverge positivamente.


CASO \alpha=0

In tale eventualità possiamo riscrivere la serie nella forma

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n^2}{\log^5(n)}

e con un ragionamento analogo rispetto a quello precedente, concludiamo subito che la serie diverge positivamente.


CASO \alpha>0

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n^2+\alpha\log^3(n)}{n^{\alpha}\log^5(n)}

Poiché la serie è a termini positivi possiamo cercare di applicare il criterio del confronto asintotico. Ragioniamo sul termine generale

\frac{n^2+\alpha\log^3(n)}{n^{\alpha}\log^5(n)}

Per l'equivalenza asintotica possiamo limitarci a considerare l'infinito di ordine principale a numeratore

\frac{n^2+\alpha\log^3(n)}{n^{\alpha}\log^5(n)}\sim_{n\to +\infty}\frac{n^2}{n^{\alpha}\log^5(n)}

In questo modo ci siamo ricondotti ad una serie il cui termine generale assomiglia molto a quello di una serie armonica modificata

\frac{1}{n^{P}\log^Q(n)}

In effetti è sufficiente riscriverlo come

\frac{1}{n^{\alpha-2}\log^5(n)}

e ci siamo, perché il comportamento della serie armonica modificata è noto. Possiamo concludere che:

- per P=\alpha-2>1, ossia per \alpha>3, la serie converge;

- poiché Q=5 per P=\alpha-2=1 ossia per \alpha=3 la serie converge;

- per P=\alpha-2<1 ossia per 0<\alpha<3 (ricordiamoci il caso in cui stiamo lavorando), la serie diverge positivamente.
  • Pagina:
  • 1
Os