Studio del carattere di una serie con differenza tra funzioni razionali

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Studio del carattere di una serie con differenza tra funzioni razionali #89983

avt
judd79
Cerchio
Potreste aiutarmi a studiare la seguente serie avente come termine generale la differenza tra due funzioni razionali?

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3n^2-1}-\frac{1}{3n-1}\right)

Vi ringrazio!
 
 

Studio del carattere di una serie con differenza tra funzioni razionali #89994

avt
Galois
Coamministratore
Rieccoci. emt

Dobbiamo studiare la seguente serie numerica

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3n^2-1}-\frac{1}{3n-1}\right)

Iniziamo dallo scrivere il termine generale della serie in forma compatta

\frac{1}{3n^2-1}-\frac{1}{3n-1}=\frac{3n-1-3n^2+1}{(3n^2-1)(3n-1)}=\frac{3n-3n^2}{6n^3-3n^2-3n+1}

Possiamo quindi riscrivere la serie di partenza come

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{-3n^2+3n}{6n^3-3n^2-3n+1}\right)

In tal modo è immediato osservare che è soddisfatta la condizione necessaria di Cauchy, infatti

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{-3n^2+3n}{6n^3-3n^2-3n+1}\right)=0

Il limite precedente è immediato. Siamo di fronte ad un limite per n\to +\infty di una funzione razionale fratta avente a numeratore un polinomio di grado inferiore rispetto al denominatore.

Poiché è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza non possiamo dir nulla e quindi procediamo con lo studio della serie applicando il criterio di confronto asintotico.

Trascuriamo gli infiniti di ordine inferiore sia a numeratore che a denominatore:

\\ 3n-3n^2 \sim_{n\to +\infty} -3n^2 \\ \\ 6n^3-3n^2-3n+1 \sim_{n\to +\infty} 6n^3

e quindi

\frac{3n-3n^2}{6n^3-3n^2-3n+1} \sim_{n\to +\infty} \frac{-3n^2}{6n^3}=-\frac{1}{2n}

Allora, per il criterio del confronto asintotico, le due serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3n^2-1}-\frac{1}{3n-1}\right) \mbox{ e } \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)

hanno lo stesso carattere.

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}\right)

è la serie armonica che sappiamo essere una serie divergente positivamente, di conseguenza

\sum_{n=1}^{+ \infty}\left(-\frac{1}{n}\right)

a causa del segno meno, divergerà negativamente e, per quanto detto poc'anzi, tale sarà anche il comportamento della serie di partenza.

È tutto! Nelle lezione sul confronto asintotico troverai tanti esempi svolti con cui approfondire l'argomento. Inoltre ti segnalo la scheda di esercizi risolti con il criterio del confronto asintotico. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Studio del carattere di una serie con differenza tra funzioni razionali #90020

avt
judd79
Cerchio
Ragazzi scusate, è sempre possibile estrarre il moltiplicatore da una serie com'era al penultimo passaggio?

Studio del carattere di una serie con differenza tra funzioni razionali #90023

avt
Galois
Coamministratore
Certo che sì, come spiegato nella lezione sulle operazioni tra serie, se b è un numero reale strettamente positivo, allora le serie

\sum_{n=1}^{+\infty}(b a_n) \mbox{ e }b \sum_{n=1}^{+\infty}a_n

hanno lo stesso carattere.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os