Giustificare la convergenza di una serie e trovarne la somma

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Giustificare la convergenza di una serie e trovarne la somma #89981

avt
judd79
Cerchio
Mi servirebbe aiuto per il seguente esercizio sulla convergenza di una serie e sul calcolo della somma.

Sappiamo che la serie

\sum_{n=2}^{+\infty} \left(\frac{e-1}{e+1}\right)^n

converge.

a) Perché?

b) Calcolare la somma.
 
 

Giustificare la convergenza di una serie e trovarne la somma #89991

avt
Galois
Amministratore
Ciao judd79. emt

q=\frac{e-1}{e+1}

è un numero reale, quindi

\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{e-1}{e+1}\right)^n

è una serie geometrica.

Poiché

q=\frac{e-1}{e+1} \simeq 0,4621

siamo di fronte ad una serie geometrica convergente, infatti

-1 \le q \le -1.

Ed abbiamo così risposto alla prima domanda.

Poi, calcolare la somma di una serie geometrica è semplicissimo. Infatti, in generale, se -1 \le q \le 1 allora

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}

Nel nostro caso, però, la serie parte da n=2, pertanto

\sum_{n=2}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q} - q^0 - q^1

Ossia dalla formula generale per il calcolo della somma di una serie geometrica, dobbiamo sottrarre i due termini che si ottengono per n=0 \mbox{ e } n=1.

Avremo, allora

\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{e-1}{e+1}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{e-1}{e+1}} - \left(\frac{e-1}{e+1}\right)^0 - \left(\frac{e-1}{e+1}\right)^1 =

= \frac{1}{1-\frac{e-1}{e+1}} - 1 - \frac{e-1}{e+1} =

(svolgendo dei semplici conti algebrici)

=\frac{1}{\frac{e+1-e+1}{e+1}}-1-\frac{e-1}{e+1}=

=\frac{1}{\frac{2}{e+1}}-1-\frac{e-1}{e+1}=

=\frac{e+1}{2}-1-\frac{e-1}{e+1}=

=\frac{(e+1)^2-2(e+1)-2e+2}{2(e+1)}=

=\frac{(e+1)^2-2e-2-2e+2}{2(e+1)}=

(svolgendo il quadrato di binomio)

=\frac{e^2+2e+1-2e-2-2e+2}{2(e+1)}=

=\frac{e^2+1-2e}{2(e+1)}=

=\frac{(e-1)^2}{2(e+1)}

che è proprio la somma della serie geometrica assegnata.

Tutto qui! emt

Per approfondire ti invito a leggere la lezione sulla serie geometrica che ti ho linkato inizialmente.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Giustificare la convergenza di una serie e trovarne la somma #90031

avt
maverick992
Punto
Bella risposta, magari sarebbe conveniente anche ricordare che:

\sum_{n=n_0}^{\infty}q^n=q^{n_0}\sum_{n=0}^{\infty}q^n

Così i conti forse migliorano un pochino. Perché nel nostro caso n_0 era semplicemente 2, ma se fosse stato più grande la questione peggiorava parecchio.

Re: Giustificare la convergenza di una serie e trovarne la somma #90078

avt
Galois
Amministratore
Ciao maverick992,

quanto da te giustamente ricordato è ampiamente spiegato nella lezione sulla serie geometrica.

Non era il caso di utilizzarla per l'esercizio proposto e quindi l'ho volutamente omessa visto che la si può trovare nella lezione con relativo esempio. emt
Ringraziano: Omega
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Os