Limite con differenza di radici terza e quinta

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Limite con differenza di radici terza e quinta #89943

avt
judd79
Cerchio
Mi servirebbe la risoluzione di questo limite con una differenza di radici terza e quinta:

\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2n+1}{3n+1}-\frac{2}{3}}-\sqrt[5]{\frac{3n-1}{2n-1}-\frac{3}{2}}\right)n

Grazie
 
 

Re: Limite con differenza di radici terza e quinta #89949

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

per tua fortuna il limite non è così spaventoso come può apparire a prima vista. emt

\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2n+1}{3n+1}-\frac{2}{3}}-\sqrt[5]{\frac{3n-1}{2n-1}-\frac{3}{2}}\right)n

Anche se la tentazione di provare particolari metodi è forte, ad un'occhiata più approfondita dovremmo renderci conto che conviene fare i conti all'interno delle radici:

\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{6n+3-6n-2}{3(3n+1)}}-\sqrt[5]{\frac{6n-2-6n+3}{2(2n-1)}}\right)n

A questo punto è evidente che si tratta di una buona scelta, perché i rapporti assumono una forma molto più gestibile

\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3(3n+1)}}-\sqrt[5]{\frac{1}{2(2n-1)}}\right)n

Ora osserviamo che, in termini di ordini di infinito di successioni, gli addendi costanti presenti nei denominatori sono irrilevanti nei confronti dei termini che generano gli infiniti.

Tale osservazione ci consente di passare al limite equivalente

\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{9n}}-\sqrt[5]{\frac{1}{4n}}\right)n

In accordo con le proprietà dei radicali possiamo riscrivere il tutto nella forma

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{9}n^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{\sqrt[5]{4}n^{\frac{1}{5}}}\right)n

Moltiplichiamo termine a termine

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{\sqrt[3]{9}n^{\frac{1}{3}}}-\frac{n}{\sqrt[5]{4}n^{\frac{1}{5}}}\right)

e usiamo le proprietà delle potenze per passare a

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^{1-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{n^{1-\frac{1}{5}}}{\sqrt[5]{4}}\right)

ossia

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{n^{\frac{4}{5}}}{\sqrt[5]{4}}\right)

Siamo ad un passo dalla conclusione: non ci resta che ragionare sugli ordini di infinito. Qui abbiamo una differenza di potenze di n che, al netto dei coefficienti, è del tipo

n^{P}-n^{Q}\ \ \ \mbox{con }P,Q\in\mathbb{R}

I coefficienti sono positivi, quindi non giocano alcun ruolo nel calcolo del limite. La forma indeterminata è del tipo "infinito meno infinito", come dobbiamo muoverci per calcolare il limite?

Dipende dal tuo livello di preparazione. emt

Se hai buona dimestichezza con i limiti, ti basta osservare che \frac{4}{5}>\frac{2}{3} per concludere che il secondo termine è quello preponderante nella differenza:

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{n^{\frac{4}{5}}}{\sqrt[5]{4}}\right)=-\infty

In caso contrario, dopo aver osservato che \frac{4}{5}>\frac{2}{3}, puoi procedere con il caro vecchio metodo del raccoglimento del termine preponderante:

\\ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{n^{\frac{4}{5}}}{\sqrt[5]{4}}\right)=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}n^{\frac{4}{5}}\left(\frac{n^{\frac{2}{3}-\frac{4}{5}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{1}{\sqrt[5]{4}}\right)=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}n^{\frac{4}{5}}\left(\frac{n^{-\frac{2}{15}}}{\sqrt[3]{9}}-\frac{1}{\sqrt[5]{4}}\right)=

In questo modo abbiamo un prodotto in cui il primo fattore diverge a +infinito, ed il secondo fattore è la somma di un infinitesimo e di una costante negativa:

=\lim_{n\to+\infty}n^{\frac{4}{5}}\left(-\frac{1}{\sqrt[5]{4}}\right)=-\infty

per cui il limite vale -infinito. emt
Ringraziano: CarFaby, judd79
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Os