Limite parametrico con coefficiente binomiale e tangente

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Limite parametrico con coefficiente binomiale e tangente #89931

avt
judd79
Cerchio
Avrei bisogno mi spiegaste passo passo la risoluzione di un limite parametrico con un coefficiente binomiale e una tangente.

\lim_{n\to+\infty}\binom{3n+1}{3n-2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

Grazie
 
 

Re: Limite parametrico con coefficiente binomiale e tangente #89948

avt
Omega
Amministratore
Ciao Judd79,

il primo passo per studiare il limite al variare del parametro reale \alpha consiste nel riscriverlo in una forma più digeribile.

\lim_{n\to+\infty}\binom{3n+1}{3n-2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

In accordo con la definizione di coefficiente binomiale

\\ \binom{3n+1}{3n-2}=\frac{(3n+1)!}{[3n+1-(3n-2)]!(3n-2)!}=\\ \\ \\ =\frac{(3n+1)!}{3!(3n-2)!}=

Ora facciamo un piccolo sforzo e ricordiamoci com'è definito il fattoriale di un numero: dato che 3n+1>3n-2, ha senso espandere il fattoriale (3n+1)!

=\frac{(3n+1)(3n)(3n-1)(3n-2)!}{3!(3n-2)!}=

e dunque, semplificando

=\frac{(3n+1)(3n)(3n-1)}{3!}

Riscriviamo il limite:

\\ \lim_{n\to+\infty}\binom{3n+1}{3n-2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{(3n+1)(3n)(3n-1)}{3!}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

e ragioniamo sugli ordini di infinito delle successioni: nel prodotto a numeratore possiamo tralasciare i termini costanti, poiché ininfluenti al cospetto degli infiniti nelle rispettive somme.

Di conseguenza possiamo passare al limite equivalente

\lim_{n\to+\infty}\frac{(3n)(3n)(3n)}{3!}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

o, meglio

\lim_{n\to+\infty}\frac{27n^3}{3!}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

Sbarazziamoci del fattoriale per pure questioni estetiche (3!=3\cdot 2\cdot 1=6)

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

Ora possiamo ragionare sul fattore dato dalla funzione tangente. Distinguiamo tre diversi casi ricordando che n^{\alpha} per n\to +\infty può assumere 3 comportamenti distinti:

- tendere a +infinito se \alpha>0;

- identicamente uguale a 1 se \alpha=0;

- tendere a zero se \alpha<0.

In ciascuno dei tre casi riscriverlo il limite per come lo abbiamo ridotto all'ultimo passaggio, per comodità di lettura.


CASO \alpha>0

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

Poiché n^{\alpha}\to+\infty al tendere di n\to +\infty, è immediato notare che

\frac{1}{n^{\alpha}+1}\to_{n\to+\infty} 0

Per questo motivo possiamo applicare il limite notevole della tangente e applicare la stima asintotica

\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{\alpha}+1}

In questo modo passiamo al limite equivalente

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\cdot \frac{1}{n^{\alpha}+1}

Anche in questo caso possiamo tralasciare la costante additiva, che è ininfluente rispetto all'infinito

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\cdot \frac{1}{n^{\alpha}}

e quindi riscrivere il limite nella forma (proprietà delle potenze)

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^{3-\alpha}}{2}

Ora possiamo distinguere tre ulteriori sotto-casi piuttosto immediati:

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^{3-\alpha}}{2}=\begin{cases}0\mbox{ se }\alpha>3\\ \frac{9}{2}\mbox{ se }\alpha=3\\ +\infty\mbox{ se }0<\alpha<3\end{cases}


CASO \alpha=0

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

Immediato, perché il limite si riduce a

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan\left(\frac{1}{2}\right)

e poiché \tan\left(\frac{1}{2}\right) è una costante positiva, si conclude che il limite vale +infinito.


CASO \alpha<0

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan\left(\frac{1}{n^{\alpha}+1}\right)

In modo simile al caso precedente, basta osservare che

n^{\alpha}\to_{n\to+\infty}0

quindi

n^{\alpha}+1\to 1

e in definitiva il limite si riduce a

\lim_{n\to+\infty}\frac{9n^3}{2}\tan(1)=+\infty

occhio anche qui al segno dell'infinito, che è positivo poiché \tan(1)>0.
Ringraziano: Galois, CarFaby, judd79

Re: Limite parametrico con coefficiente binomiale e tangente #89970

avt
judd79
Cerchio
Riguardo alla stima asintotica della tangente parliamo del caso 3 del link vero?

Re: Limite parametrico con coefficiente binomiale e tangente #89971

avt
Galois
Coamministratore
Esattamente. emt

Intervengo io al posto di Omega perché oggi è assente.
Ringraziano: judd79
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Os