Immagine di un'applicazione lineare contenuta in un piano

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Immagine di un'applicazione lineare contenuta in un piano #89746

avt
msosio
Punto
Buonasera, mi potreste aiutare in questo esercizio sull'immagine di un'applicazione lineare contenuta in un piano con parametro?

Consideriamo l'applicazione lineare T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definita da:

\begin{cases}y_1=x_1+2x_2\\ y_2=3x_1+x_2\\ y_3=2x_1-x_2\end{cases}

Dire per quali valori del parametro a il piano di equazione y_1-y_2+ay_3=0 contiene l'immagine di T.
 
 

Immagine di un'applicazione lineare contenuta in un piano #89760

avt
Omega
Amministratore
Esercizio molto carino!

Considerazioni preliminari

Leggendo la traccia la prima considerazione da effettuare riguarda i due personaggi in gioco. Da un lato dobbiamo individuare l'immagine dell'applicazione lineare T, che è un sottospazio vettoriale dello spazio di arrivo, vale a dire di \mathbb{R}^3.

\\ Im(T)\ \mbox{dove}\ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\\ \\ T(x_1,x_2)=(x_1+2x_2\ ;\ 3x_1+x_2\ ;\ 2x_1-x_2)

Dall'altro abbiamo l'equazione cartesiana di un piano

y_1-y_2+ay_3=0

Un piano individuato da un'equazione cartesiana del tipo

\alpha y_1+\beta y_2+\gamma y_3+\delta=0

o, se preferisci

\alpha y_1+\beta y_2+\gamma y_3=\delta

con \delta\neq 0 (non passante per l'origine) è un sottospazio affine dello spazio euclideo \mathbb{E}^3.

Nel caso particolare \delta=0, che poi è il nostro, abbiamo a che fare con un'equazione omogenea e quindi con un piano passante per l'origine; in tal caso il piano è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3.

Quindi, tutto ok: l'esercizio ci chiede di capire quando un assegnato sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 è contenuto in un altro sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3.


Svolgimento

Calcoliamo una base dell'immagine dell'applicazione lineare.

Per farlo dobbiamo scrivere il sistema delle componenti della generica immagine in forma matriciale, ricordando come agisce il prodotto riga per colonna

\left[\begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 1\\ 2 & -1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}y_1\\ y_2\\ y_3\end{matrix}\right]

da cui si desume che la matrice associata all'applicazione lineare è

A_T=\left[\begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 1\\ 2 & -1\end{matrix}\right]

Per individuare una base dell'immagine ci basta ricordare che l'immagine di un'applicazione lineare è il sottospazio vettoriale generato dalle colonne di una qualsivoglia matrice rappresentativa. I vettori colonna costituiscono quindi un sistema di generatori dell'immagine; poiché essi sono pure linearmente indipendenti (verifica ad occhio), concludiamo immediatamente che

\left\{\left[\begin{matrix}1 \\ 3\\ 2\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}2\\ 1\\ -1\end{matrix}\right]\right\}

è una base dell'immagine.

Ora riprendiamo la richiesta dell'esercizio:

Dire per quali valori del parametro a il piano di equazione y_1-y_2+ay_3=0 contiene l'immagine di T.

Se i vettori della base scritta per l'immagine appartengono al piano, che è un sottospazio vettoriale, allora tutte le loro possibili combinazioni lineari appartengono al piano.

Equivalentemente, se i vettori della base scritta per l'immagine appartengono al piano, l'immagine stessa sarà contenuta nel piano.

Equivalentemente, se i vettori della base scritta per l'immagine verificano l'equazione del piano, l'immagine stessa sarà contenuta nel piano.

Imponiamo quindi la condizione di appartenenza dei vettori della base scelta imponendo che essi verifichino l'equazione del piano

y_1-y_2+ay_3=0\ \to\ \begin{cases}1-3+2a=0\\ 2-1-a=0\end{cases}

Ti faccio notare che la condizione di appartenenza si è tradotta in un sistema lineare di due equazioni (una per ciascun vettore) in una incognita (quello che originariamente era il parametro del generico piano).

Otteniamo

\begin{cases}a=1\\ a=1\end{cases}

poiché entrambe le equazioni ammettono la medesima soluzione a=1 si conclude che il piano richiesto è y_1-y_2+y_3=0.

Ti faccio anche notare che se avessimo ottenuto due soluzioni distinte per a, una per ciascuna equazione, il sistema sarebbe stato incompatibile.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os