Esercizio molto carino!
Considerazioni preliminari Leggendo la traccia la prima considerazione da effettuare riguarda i due personaggi in gioco. Da un lato dobbiamo individuare l'
immagine dell'applicazione lineare 
, che è un
sottospazio vettoriale dello spazio di arrivo, vale a dire di

.
Dall'altro abbiamo l'
equazione cartesiana di un piano
Un piano individuato da un'equazione cartesiana del tipo
o, se preferisci
con

(non passante per l'origine) è un
sottospazio affine dello
spazio euclideo 
.
Nel caso particolare

, che poi è il nostro, abbiamo a che fare con un'equazione omogenea e quindi con un piano passante per l'origine; in tal caso il piano è un sottospazio vettoriale di

.
Quindi, tutto ok: l'esercizio ci chiede di capire quando un assegnato sottospazio vettoriale di

è contenuto in un altro sottospazio vettoriale di

.
Svolgimento Calcoliamo una
base dell'immagine dell'applicazione lineare.
Per farlo dobbiamo scrivere il sistema delle componenti della generica immagine in forma matriciale, ricordando come agisce il
prodotto riga per colonna
da cui si desume che la
matrice associata all'applicazione lineare è
Per individuare una base dell'immagine ci basta ricordare che l'immagine di un'applicazione lineare è il sottospazio vettoriale generato dalle colonne di una qualsivoglia matrice rappresentativa. I vettori colonna costituiscono quindi un
sistema di generatori dell'immagine; poiché essi sono pure
linearmente indipendenti (verifica ad occhio), concludiamo immediatamente che
è una
base dell'immagine.
Ora riprendiamo la richiesta dell'esercizio:
Dire per quali valori del parametro

il piano di equazione

contiene l'immagine di

.
Se i vettori della base scritta per l'immagine appartengono al piano, che è un sottospazio vettoriale, allora tutte le loro possibili
combinazioni lineari appartengono al piano.
Equivalentemente, se i vettori della base scritta per l'immagine appartengono al piano, l'immagine stessa sarà contenuta nel piano.
Equivalentemente, se i vettori della base scritta per l'immagine verificano l'equazione del piano, l'immagine stessa sarà contenuta nel piano.
Imponiamo quindi la condizione di appartenenza dei vettori della base scelta imponendo che essi verifichino l'equazione del piano
Ti faccio notare che la condizione di appartenenza si è tradotta in un
sistema lineare di due equazioni (una per ciascun vettore) in una incognita (quello che originariamente era il parametro del generico piano).
Otteniamo
poiché entrambe le equazioni ammettono la medesima soluzione

si conclude che il piano richiesto è

.
Ti faccio anche notare che se avessimo ottenuto due soluzioni distinte per

, una per ciascuna equazione, il sistema sarebbe stato incompatibile.