Studio di una funzione prodotto con termine esponenziale

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Studio di una funzione prodotto con termine esponenziale #89357

avt
manu_ela_78
Cerchio
Vorrei un aiuto da parte vostra, devo studiare la seguente funzione

f(x)=(1-x^2)e^{1-x^2}

Dominio tutto l'asse reale, nessun punto singolare, y=0 asintoto orizzontale completo (perché funzione pari) due punti di minimo relativo in ascisse \pm\sqrt{2}, uno di massimo assoluto in ascissa x=0.

La derivata seconda però racconta tutta un'altra storia, gli intervalli non sono simmetrici e non rispecchiano l'andamento della curva.

Grazie a tutti voi,
Manuela
 
 

Studio di una funzione prodotto con termine esponenziale #89374

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Manuela,

sebbene oggi sia domenica rispondo in via del tutto eccezionale. emt

Dobbiamo effettuare lo studio della funzione

f(x)=(1-x^2)e^{1-x^2}

Tutto quel che dici fino alla derivata seconda è corretto, tuttavia faccio un resoconto veloce.

Dominio

La funzione è definita ovunque, quindi il dominio è tutto \mathbb{R}

Simmetrie della funzione

f(-x)=[1-(-x)^2]e^{1-(-x)^2} = (1-x^2)e^{1-x^2}=f(x)

Siamo così di fronte ad una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse y.

Intersezione con gli assi

Per trovare le intersezioni della funzione con l'asse x dobbiamo risolvere l'equazione

(1-x^2)e^{1-x^2}=0

Per la legge di annullamento del prodotto ricadiamo in due equazioni:

1-x^2=0 \iff x=-1 \ \vee \ x=1

e^{1-x^2}=0 che non è verificata per nessun valore di x. Per convincersi di ciò basta sapere che la funzione esponenziale assume valori strettamente positivi.

Abbiamo così trovato due punti di intersezione della funzione con l'asse delle ascisse:

(-1,0) \mbox{ e } (1,0)

Per trovare gli eventuali punti di intersezione con l'asse y basta sostituire 0 al posto di x nell'espressione analitica della funzione.

f(0)=1 \cdot e^1 = e

Pertanto (0,e) è l'unico punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

Segno della funzione

Per studiare il segno della funzione occorre risolvere la disequazione

(1-x^2)e^{1-x^2} \ge 0

Applicando la regola dei segni per le disequazioni dobbiamo imporre che sia

1-x^2 \ge 0 \iff -1 \le x \le 1

e^{1-x^2} \ge 0, \ \forall x \in \mathbb{R}

Possiamo così concludere che la funzione è positiva per

-1 \le x \le 1

Negativa altrove.

Limiti agli estremi del dominio

Il dominio di f è Dom(f)=(-\infty,+\infty)

Di conseguenza possiamo scartare la presenza di eventuali asintoti verticali e possiamo direttamente calcolare

\lim_{x\to \pm \infty}\left[(1-x^2)e^{1-x^2}\right]=0

Allora y=0 (cioè l'asse x) è un asintoto orizzontale destro e sinistro per la funzione.

Essendoci un asintoto orizzontale siamo certi che non ci saranno asintoti obliqui.

Massimi e minimi

Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo dobbiamo trovare gli zeri e studiare il segno della derivata prima della funzione

f(x)=(1-x^2)e^{1-x^2}

Procedendo con la regola per la derivata di un prodotto otteniamo

f'(x)=-2x e^{1-x^2} + (1-x^2)e^{1-x^2}(-2x)

Con un raccoglimento totale del fattore -2xe^{1-x^2} la possiamo riscrivere come

f'(x)=-2xe^{1-x^2}(1+1-x^2)=-2xe^{1-x^2}(2-x^2)

Ossia

f'(x)=2xe^{1-x^2}(x^2-2)

Tale funzione si annulla per x=0, \ x=-\sqrt{2}, \ x=\sqrt{2}

che sono i candidati ad essere punti di massimo o di minimo.

Studiando il segno della derivata prima si scopre che

\\ f'(x)>0 \iff -\sqrt{2}<x<0 \ \vee \ x>\sqrt{2} \\ \\ f'(x)<0 \iff x<-\sqrt{2} \ \vee \ 0 <x<\sqrt{2}

Pertanto

x=-\sqrt{2} \mbox{ e } x=\sqrt{2} sono due punti di minimo (assoluto), mentre

x=0 è un punto di massimo assoluto.

Studio della derivata seconda, concavità e punti di flesso

Sappiamo che

f'(x)=2xe^{1-x^2}(x^2-2)

che possiamo riscrivere come

f'(x)=(2x^3-4x)e^{1-x^2}

Quindi, procedendo sempre con la regola di derivazione del prodotto calcoliamo la derivata seconda

f''(x)=(6x^2-4)e^{1-x^2}+(2x^3-4x)e^{1-x^2}(-2x)=

=e^{1-x^2}(6x^2-4-4x^4+8x^2) = e^{1-x^2}(-4x^4+14x^2-4)

Quindi

f''(x)=2e^{1-x^2}(-2x^4+7x^2-2)

Trovata l'espressione analitica della derivata seconda studiamone il segno.

f''(x)\ge 0 \iff -2x^4+7x^2-2 \ge 0 \iff 2x^4-7x^2+2 \le 0

(Il fattore 2e^{1-x^2} è sicuramente positivo in senso stretto)

Siamo di fronte ad una disequazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere ponendo x^2=t.

Allora

2t^2-7t+2 \le 0 \iff \frac{7-\sqrt{33}}{4} \le t \le \frac{7+\sqrt{33}}{4}

In caso di dubbi ti invito a prendere visione della nostra lezione sulle disequazioni di secondo grado.

Avendo posto x^2=t

f''(x) \ge 0 \iff \frac{7-\sqrt{33}}{4} \le x^2 \le \frac{7+\sqrt{33}}{4}

Attenzione ora!

\frac{7-\sqrt{33}}{4} \le x^2 \le \frac{7+\sqrt{33}}{4}

equivale al seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}x^2 \ge \frac{7-\sqrt{33}}{4} \\ x^2 \le \frac{7+\sqrt{33}}{4}\end{cases}

La prima disequazione è soddisfatta per

x\le -\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2} \ \vee \ x \ge \frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2}

Mentre la seconda disequazione è verificata per

-\frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2}

L'intersezione tra le soluzioni si ottiene con un semplice grafico per lo studio delle soluzioni di un sistema.

sistema derivata seconda


Pertanto negli intervalli evidenziati in rosso la derivata seconda è positiva, nei rimanenti è negativa. Ossia

\\ f''(x) >0 \iff -\frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2} < x < -\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2} \ \vee \ \frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2} < x < \frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2} \\ \\ f''(x) < 0 \iff x<-\frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2} \ \vee \ -\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2}<x<\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2} \ \vee x > \frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2}

Per i teoremi sulla derivata seconda, negli intervalli dove f''(x) è positiva la funzione è convessa, nei rimanenti è concava e quindi

x=-\frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2} \mbox{ e } x=\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2}

sono dei punti di flesso ascendenti, mentre

x=-\frac{\sqrt{7-\sqrt{33}}}{2} \mbox{ e } x=\frac{\sqrt{7+\sqrt{33}}}{2}

sono punti di flesso discendenti.

Grafico della funzione

Abbiamo ora tutte le info necessarie per tracciare il grafico della funzione

grafico funzione prodotto esponenziale


È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, manu_ela_78

Studio di una funzione prodotto con termine esponenziale #89375

avt
manu_ela_78
Cerchio
Che meraviglia! Sempre impeccabili voi di Youmath!

Grazie di aver risolto il mio dubbio di domenica, domattina ho l'esame e pensavo di non fare in tempo, grazie!
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Studio di una funzione prodotto con termine esponenziale #89376

avt
Galois
Coamministratore
Ti ringrazio per i complimenti, in bocca al lupo per l'esame! emt
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Os