Dubbio sulla dimostrazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt

Ciao, studiando mi sono imbattuto nella dimostrazione del teorema, che ho trattato in maniera differente da come è spiegato qui su YM.

Per dimostrarlo abbiamo introdotto l'applicazione lineare della proiezione di V su U, definita così:



dove con <> si indica il prodotto scalare.

Non riesco a capire in che modo sia del tutto equivalante al termine che voi usate nella vostra dimostrazione, ossia



Enunciato

Sia un insieme di generatori di un sottospazio U di V. Poniamo:



fino a:



dove è la proiezione ortogonale di V in sottospazio generato da

(Ora non l'ho scritto, ma dopo ogni vettore ho omesso il fatto che l'ho normalizzato perché altrimenti era un macello da scrivere).

Il mio problema sta nel fatto che non capisco come la mia definizione di proiezione sia equivalente a quella adoperata da voi.

Ossia, per esempio, io definisco u il vettore così:



mentre voi:



Grazie in anticipo per la risposta.

Ciao feddy,

il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schdmit, per il cui enunciato ti rimando alla lezione del link, permette di costruire una base ortogonale a partire da un generica base di uno spazio vettoriale di dimensione .

Per calcolare i vettori si proietta ortogonalmente sul sottospazio generato da .

Normalizzando poi tale base, ossia dividendo ogni vettore per la sua norma, si ottiene la base ortonormale cercata.


Ora, per chiarire il tuo dubbio, è sufficiente sapere che la proiezione ortogonale del generico vettore sul sottospazio generato da è il vettore:



dove con si indica il prodotto scalare standard che nella lezione sul processo di Gram-Schdmit abbiamo indicato con


Utilizzando la tua notazione, hai indicato con la proiezione del vettore sul sottospazio generato da .

Pertanto, per la definizione di proiezione data poc'anzi, abbiamo che



dove a primo membro c'è la tua notazione e, se ci rifletti un attimo, quella a secondo membro è proprio la notazione che abbiamo usato noi.


Per non lasciare spazio a dubbi, con la tua notazione, il procedimento di Gram-Schdmit (tralasciando la norma) è il seguente:



Ma, per la formula , ossia per definizione di proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio, abbiamo che





..e così via..

Insomma, tu hai indicato la proiezione con il suo simbolo, noi l'abbiamo esplicitata, tutto qui.

Grazie mille, tutto chiaro!