Dubbio sulla dimostrazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt

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Dubbio sulla dimostrazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt #89186

avt
feddy
Cerchio
Ciao, studiando mi sono imbattuto nella dimostrazione del teorema, che ho trattato in maniera differente da come è spiegato qui su YM.

Per dimostrarlo abbiamo introdotto l'applicazione lineare della proiezione di V su U, definita così:

\\ p_u:V\ \to\ U\\ \\ p_u:v\ \to\ \sum_{i}^{n}<u_i,v>u_i

dove con <> si indica il prodotto scalare.

Non riesco a capire in che modo sia del tutto equivalante al termine che voi usate nella vostra dimostrazione, ossia

\frac{(v_2\cdot w_1)w_1}{w_1\cdot w_1}

Enunciato

Sia \{v_1,...,v_n\} un insieme di generatori di un sottospazio U di V. Poniamo:

\\ u_1=v_1\\ \\ w_1=\frac{u_1}{||u_1||}\\ \\ u_2=v_2-p_2(v_2)\\ \\ u_3=v_3-p_3(v_3)

fino a:

u_k=v_k-p_k(v_k)

dove p_k è la proiezione ortogonale di V in u_k= sottospazio generato da \{w_1,...,w_{k-1}\}

(Ora non l'ho scritto, ma dopo ogni vettore u ho omesso il fatto che l'ho normalizzato perché altrimenti era un macello da scrivere).

Il mio problema sta nel fatto che non capisco come la mia definizione di proiezione sia equivalente a quella adoperata da voi.

Ossia, per esempio, io definisco u il vettore u_2 così:

u_{2}= v_{2}-p_{2}(v_{2})

mentre voi:

u_{2}=v_{2}-\frac{v_{2}\cdot w_{1}}{w_{1}\cdot w_{1}}w_1

Grazie in anticipo per la risposta.
 
 

Dubbio sulla dimostrazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt #89195

avt
Galois
Coamministratore
Ciao feddy,

il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schdmit, per il cui enunciato ti rimando alla lezione del link, permette di costruire una base ortogonale \{w_1, w_2, \dots, w_n\} a partire da un generica base \{v_1, v_2, \dots, v_n\} di uno spazio vettoriale di dimensione n \in \mathbb{N} .

Per calcolare i vettori w_k si proietta ortogonalmente v_k sul sottospazio W_{k-1} generato da \{w_1, w_2, \dots, w_{k-1}\} .

Normalizzando poi tale base, ossia dividendo ogni vettore w_k per la sua norma, si ottiene la base ortonormale cercata.


Ora, per chiarire il tuo dubbio, è sufficiente sapere che la proiezione ortogonale del generico vettore v_k sul sottospazio W_{k-1} generato da \{w_1, w_2, \dots, w_{k-1}\} è il vettore:

p_{W_{k-1}}(v_k)=<v_k,w_1>w_1+<v_k,w_2>w_2+\cdots+<v_k,w_{k-1}>w_{k-1}

dove con <,> si indica il prodotto scalare standard che nella lezione sul processo di Gram-Schdmit abbiamo indicato con \cdot


Utilizzando la tua notazione, hai indicato con p_k(v_k) la proiezione del vettore v_k sul sottospazio generato da \{w_1, w_2\dots, w_{k-1}\} .

Pertanto, per la definizione di proiezione data poc'anzi, abbiamo che

(\star) \ p_{k}(v_k)=<v_k,w_1>w_1+<v_k,w_2>w_2+\cdots+<v_k,w_{k-1}>w_{k-1}

dove a primo membro c'è la tua notazione e, se ci rifletti un attimo, quella a secondo membro è proprio la notazione che abbiamo usato noi. emt


Per non lasciare spazio a dubbi, con la tua notazione, il procedimento di Gram-Schdmit (tralasciando la norma) è il seguente:

\\ w_1=u_1 \\ \\ w_2 = u_2-{p_2(v_2)} \\ \\ w_3=u_3-{p_3(v_3)} \\ \\ ...

Ma, per la formula (\star) , ossia per definizione di proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio, abbiamo che

p_{2}(v_2)=<v_2,w_1>w_1 = (v_2 \cdot w_1)w_1

p_{3}(v_3)=<v_3,w_1>w_1+<v_3,w_2>w_2 = (v_3 \cdot w_1)w_1 + (v_3 \cdot w_2)w_2

..e così via..

Insomma, tu hai indicato la proiezione con il suo simbolo, noi l'abbiamo esplicitata, tutto qui. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, feddy

Re: Dubbio sulla dimostrazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt #89219

avt
feddy
Cerchio
Grazie mille, tutto chiaro!
Ringraziano: Galois
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Os