Angolo tra due piani al variare del parametro

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Angolo tra due piani al variare del parametro #89163

avt
msosio
Punto
Dovrei determinare i valori di un parametro reale in modo che due piani, di cui conosco le equazioni cartesiane, formino un angolo ben preciso. So che esiste una formula ben precisa con coseni, prodotti scalari e norme, ma non so come si usa!

Trovare i valori del parametro h in modo tale che i piani di equazioni cartesiane

\alpha: \ 2x+y+z=0\\ \\ \beta:\ hx+z=0

formino un angolo di 30^{\circ}.

Grazie mille!
 
 

Angolo tra due piani al variare del parametro #89173

avt
Galois
Amministratore
Dobbiamo trovare i valori del parametro reale h per cui i due piani di equazioni cartesiane

\\ \alpha: \ 2x+y+z=0 \\ \\ \beta:\ hx+z=0

formano un angolo di 30 gradi, ma prima di occuparci del problema, riportiamo le relazioni che ci servono!

In generale, detti \mathbf{n}_1 \mbox{ e } \mathbf{n}_2 i vettori normali a \alpha\ \mbox{e} \ \beta rispettivamente, gli angoli tra due piani \widehat{\alpha\beta}_{1,2}\in [0,\pi] soddisfano la relazione:

\cos{(\widehat{\alpha\beta})}=\pm\frac{\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2}{||\mathbf{n}_1||\ ||\mathbf{n}_2||}

dove \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 indica il prodotto scalare standard e || \cdot || rappresenta la norma euclidea indotta da tale prodotto.

Si noti che i vettori dei parametri direttori dei piani possono tranquillamente assumere il ruolo di \mathbf{n}_1\ \mbox{e} \ \mathbf{n}_2.

Torniamo al problema: consideriamo le equazioni cartesiane dei piani \alpha\ \mbox{e} \ \beta

\\ \alpha:\ 2x+y+z=0\\ \\ \beta:\ hx+z=0

ed estrapoliamo la tripla dei parametri direttori di \alpha

\mathbf{n}_{1}=(a,b,c)=(2,1,1)

composta dai coefficienti che moltiplicano le incognite dell'equazione di \alpha, e quella di \beta

\mathbf{n}_2=(a',b',c')=(h,0,1)

composta dai coefficienti delle incognite che figurano nell'equazione cartesiana di \beta.

Note le componenti di \mathbf{n}_1 e quelle di \mathbf{n}_2, calcoliamo il prodotto scalare

\\ \mathbf{n}_1 \cdot\mathbf{n}_2= (2,1,1) \cdot (h,0,1) = 2h+0+1=2h+1

e le norme ||\mathbf{n}_1||\ \mbox{e} \ ||\mathbf{n}_2||

\\ ||\mathbf{n}_1||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6} \\ \\ ||\mathbf{n}_2||=\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}=\sqrt{h^2+0^2+1^2}=\sqrt{h^2+1}

Inoltre, poiché l'angolo tra i due piani misura 30^{\circ}

\widehat{\alpha\beta}=30^{\circ}

la relazione

\cos{(\widehat{\alpha\beta})}=\pm\frac{\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2}{||\mathbf{n}_1||\ ||\mathbf{n}_2||}

diventa

\cos(30^{\circ})=\pm\frac{2h+1}{\sqrt{6}\sqrt{h^2+1}}

Ricordando il valore del coseno di 30 e svolgendo il prodotto a denominatore, ricadiamo nella seguente equazione

\frac{\sqrt{3}}{2}=\pm\frac{2h+1}{\sqrt{6h^2+6}}

che tramite qualche semplice conticino algebrico possiamo riscrivere come

\sqrt{18h^2+18}=\pm(4h+2)

che si spezza nelle due equazione irrazionale

\sqrt{18h^2+18}=4h+2 \ \ \vee \ \ \ \sqrt{18h^2+18}=-4h-2

Risolviamo la prima

\sqrt{18h^2+18}=4h+2

è equivalente al sistema composto dalle relazioni

18h^2+18\ge 0 (condizione di esistenza della radice quadrata)

4h+2\ge 0 (condizione di concordanza tra i membri)

18h^2+18=(4h+2)^2 (elevamento al quadrato dei membri)

vale a dire

\begin{cases}18h^2+18\ge 0 \\ 4h+2\ge 0 \\ 18h^2+18=(4h+2)^2\end{cases}

Studiamo separatamente le tre relazioni partendo dalla prima:

18h^2+18\ge 0 è una disequazione di secondo grado soddisfatta per ogni h\in\mathbb{R} giacché al primo membro figura la somma tra quantità non negative.

4h+2\ge 0 è una semplicissima disequazione di primo grado, soddisfatta per h\ge -\frac{1}{2}

18h^2+18=(4h+2)^2 è un'equazione di secondo grado che non è ancora espressa in forma normale. Sviluppando il quadrato di binomio, trasportando tutti i termini al primo membro e sommando i monomi simili, otteniamo l'equazione

2h^2-16h+14=0 \ \ \to \ \ \ h^2-8h+7=0

soddisfatta dai valori h_1=1,\ h_2=7.

Poiché h_1=1\ \mbox{e} \ h_2=7 soddisfano sia la condizione di concordanza, sia la condizione di esistenza, esse sono le uniche soluzioni del sistema e quindi dell'equazione irrazionale.

\sqrt{18h^2+18}=4h+2\ \ \ \to \ \ \ h_1=1,\ h_2=7

Teniamo da parte questi valori e occupiamoci della seconda equazione irrazionale

\sqrt{18h^2+18}=-4h-2

che è equivalente al sistema

\begin{cases}18h^2+18\ge 0\\ -4h-2\ge 0 \\ 18h^2+18=(-4h-2)^2\end{cases}

Ora 18h^2+18\ge 0 è soddisfatta per ogni h\in\mathbb{R}, mentre -4h-2\ge 0 è soddisfatta per h\le -\frac{1}{2}.

Se svolgiamo i calcoli nell'equazione

18h^2+18=(-4h-2)^2

e la esprimiamo in forma normale, ricaviamo la medesima relazione ottenuta nel sistema precedente

h^2-8h+7=0\ \ \ \to \ \ \ h_1=1, \ h_2=7

Le soluzioni h_1=1 \ \mbox{e} \ h_2=7 non rispettano la condizione di concordanza h\le -\frac{1}{2} pertanto possiamo affermare che il sistema, e quindi l'equazione irrazionale da cui scaturisce, è impossibile!

In definitiva, h=1\ \mbox{e} \ h=7 sono gli unici valori di h per i quali \alpha\ \mbox{e} \ \beta formano un angolo pari a 30^{\circ}.

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby, msosio
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Os