Angolo tra due piani al variare del parametro

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Angolo tra due piani al variare del parametro #89163

avt
msosio
Punto
Buonasera, devo trovare l'angolo tra due piani al variare di un parametro. Vi posto qui sotto il testo dell'esercizio che non riesco a risolvere.

Trovare i valori del parametro a in modo tale che i piani di equazione

2x + y + z = 0 \mbox{ e } ax+z=0

formino un angolo di 30 gradi.

Grazie in anticipo!

Manuel
 
 

Angolo tra due piani al variare del parametro #89173

avt
Galois
Coamministratore
Ciao msosio. emt

Dobbiamo trovare il valore del parametro reale a per cui i due piani

\\ \alpha: \ 2x+y+z=0 \\ \\ \beta: ax+z=0

formano un angolo di 30 gradi.


In generale, detti u \mbox{ e } v i vettori che esprimono la direzione dei due piani, l' angolo tra due piani si trova attraverso la formula

\cos{(\widehat{u,v})}=\frac{u\cdot v}{||u||||v||}

dove u\cdot v indica il prodotto scalare standard e || \cdot || rappresenta la norma euclidea indotta da tale prodotto.


Nel caso in esame i parametri direttori dei piani \alpha \mbox{ e } \beta sono

u=(2,1,1) \mbox{ e } v=(a,0,1)

Infatti, poiché il testo del problema ci fornisce l'equazione cartesiana dei piani che è della forma ax+by+cz+d=0, i parametri direttori sono dati da (a,b,c).

Inoltre

\\ u \cdot v = (2,1,1) \cdot (a,0,1) = 2a+0+1=2a+1 \\ \\ ||u||=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6} \\ \\ ||v||=\sqrt{a^2+0^2+1^2}=\sqrt{a^2+1}

Infine sappiamo che

\widehat{u,v} = 30^{\circ}

Sostituiamo tali valori nella formula data

\cos{\left(30^{\circ}\right)}=\frac{2a+1}{\sqrt{6}{\sqrt{a^2+1}}}

Ricordando il valore del coseno di 30 e svolgendo il prodotto a denominatore ricadiamo nella seguente equazione

\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2a+1}{\sqrt{6a^2+6}}

che tramite qualche semplice conticino algebrico possiamo riscrivere come

\sqrt{18a^2+18}=4a+2

Non ci rimane altro da fare se non trovare le soluzioni dell'equazione irrazionale ottenuta.

La quantità sotto radice è sicuramente positiva (\ge 0) dunque possiamo elevare ambo i membri al quadrato senza porre alcuna condizione.

18a^2+18=(4a+2)^2

Svolgiamo poi il quadrato di binomio e portiamo tutto a primo membro sommando i termini simili. Ricadiamo così in un'equazione di secondo grado

2a^2-16a+14=0

Dividiamo tutto per 2

a^2-8a+7=0

e risolviamola utilizzando la formula ridotta

a_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a} =\frac{4 \pm \sqrt{9}}{1}=4\pm 3

Da cui otteniamo i due valori a_1=1 \mbox{ e } a_2=7 che sono i valori del parametro a richiesti dal problema.

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby, msosio

Re: Angolo tra due piani al variare del parametro #89175

avt
msosio
Punto
Buonasera, la ringrazio per la risposta rapida e precisa.

[Mod]Parte del messaggio rimossa. Si veda giù[/Mod]
Ringraziano: Galois

Re: Angolo tra due piani al variare del parametro #89176

avt
Galois
Coamministratore
Rieccoci emt

Come espressamente indicato nelle modalità di servizio dei topic one shot, ogni topic deve contenere un solo esercizio.

Quindi, qualora desiderasse porre una nuova domanda usufruendo del servizio, deve procedere ad un nuovo ordine e creare un nuovo topic nella sezione speciale del forum, proprio come ha fatto prima.

A presto. emt

Re: Angolo tra due piani al variare del parametro #89227

avt
msosio
Punto
ok perfetto, allora ne inserirò un'altro.

mentre per quanto riguarda l'esercizio sopra, nel caso in cui la quantità sotto la radice fosse negativa? cosa devo fare?

per capirci intendo in questo punto: "La quantità sotto radice è sicuramente positiva (>= 0) dunque possiamo elevare ambo i membri al quadrato senza porre alcuna condizione."

Grazie

Re: Angolo tra due piani al variare del parametro #89230

avt
Galois
Coamministratore
nel caso in cui la quantità sotto la radice fosse negativa? cosa devo fare?

Attenzione! La quantità sotto radice di un'equazione irrazionale ridotta in forma normale è in funzione dell'incognita (nel caso specifico a o, più in generale, x).

Quindi, se non sei sicuro della positività del radicando, devi anzitutto imporre che il radicando sia maggiore uguale di zero. A quel punto potrai elevare al quadrato e una volta trovate le soluzioni dovrai sostituirle nell'equazione di partenza ed eventualmente scartare quelle che non verificano l'uguaglianza.

Comunque è tutto spiegato qui: equazioni irrazionali - click! emt
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