Equazione complessa con radici, modulo e coniugato

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Equazione complessa con radici, modulo e coniugato #88903

avt
Slapp
Punto
Ho delle difficoltà con un'equazione complessa in cui bisogna calcolare le radici ed in cui ci sono un modulo ed un coniugato.

Sia data in \mathbb{C} l'equazione:

(z^4+2i)(z^3-5|z|\overline{z})=0

determinare il numero di soluzioni e scriverle esplicitamente.

Essendo un prodotto uguale a zero, io proverei ad impostare che i due fattori siano uguali a zero. Per quanto riguarda il primo passerei in forma trigonometrica per poter applicare De Moivre: avendo solo parte immaginaria, il coseno di quattro volte l'angolo lo porrei uguale a zero, il seno minore di uno, dato che dev'essere negativo ed è moltiplicato per un numero alla quarta.

Riassumendo: come angolo mi risulta \frac{3\pi}{8} e come modulo le quattro radici quarte di +2.

Per quanto riguarda la seconda "metà", penso sia corretto passare alla forma esponenziale

r^3e^{i3\theta}-5r\cdot re^{-i\theta}=0

è corretta fino a qui come impostazione della risoluzione? Come posso procedere? Ci sono modi più astuti di risolvere equazioni di questo tipo? Quante soluzioni devo aspettarmi? (Avrei detto sette, essendo un complesso di quarto grado moltiplicato per sé stesso di terzo grado, come mai non è così?)

Grazie mille per la pazienza e l'attenzione.
 
 

Equazione complessa con radici, modulo e coniugato #88907

avt
Omega
Amministratore
Nella tua proposta di procedimento (non richiesta, ma hai fatto bene a riportarla ugualmente) ci sono buoni spunti.

Rispondo subito alla tua osservazione finale sul numero di soluzioni dell'equazione complessa. Il problema è che il secondo fattore non è della forma

z^3-\mbox{un numero complesso}

bensì contiene nel secondo addendo un termine dipendente dal modulo e dal coniugato dell'incognita

z^3-5|z|\overline{z}

Nel primo caso avremmo avuto sicuramente tre soluzioni, ciascuna contata con la relativa molteplicità, in forza del teorema fondamentale dell'algebra.

Nel secondo le carte vengono sparigliate dalla presenza di due termini misti e, in generale, non possiamo dire nulla a priori.

In soldoni, per l'equazione

z^3-\mbox{un numero complesso}=0

sussiste il teorema fondamentale dell'Algebra perché z^3-\mbox{un numero complesso} è un polinomio nella variabile z, mentre z^3-5|z|\overline{z} non lo è per via della presenza del modulo di z.

Vediamo come risolvere l'equazione complessa

(z^4+2i)(z^3-5|z|\overline{z})=0

Sicuramente conviene procedere con la legge di annullamento del prodotto e risolvere separatamente le due equazioni

z^4+2i=0 \ \mbox{e} \  z^3-5|z|\overline{z}=0

Prima equazione

Analizziamo la prima equazione

z^4+2i=0

e riscriviamola nella forma

z^4=-2i

cosicché la risoluzione equivale a calcolare le quattro radici complesse del numero -2i.

A tal proposito scriviamo il numero a destra in forma trigonometrica, considerando l'argomento con la condizione 0\leq \theta<2\pi

-2i=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)

e usiamo la formula per le radici di un numero complesso

\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{2}\left(\cos\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)\right)

al variare di k\in \{0,1,2,3\}. In questo modo otteniamo 4 radici distinte in forma trigonometrica

\\ \sqrt[4]{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right)\\ \\ \sqrt[4]{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)\right)\\ \\ \sqrt[4]{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{8}\right)\right)\\ \\ \sqrt[4]{2}\left(\cos\left(\frac{15\pi}{8}\right)+i\sin\left(\frac{15\pi}{8}\right)\right)

Se il tempo a disposizione durante un esame lo permette, possiamo ricorrere alla tabella dei valori delle funzioni goniometriche e scrivere esplicitamente le precedenti soluzioni in forma algebrica. Attenzione! Se non è esplicitamente richiesto dalla traccia possiamo lasciare in forma trigonometrica i valori ottenuti!

Seconda equazione

Consideriamo ora l'equazione

z^3-5|z|\overline{z}=0

Qui conviene passare alla forma esponenziale dell'incognita

\\ z=re^{i\theta} \\ \\ \mbox{con} \ r\ge0 \ \mbox{e}\ \theta\in[0,2\pi)

] e ricordarsi le definizioni di modulo di un numero complesso e di coniugato

r^3e^{3i\theta}-5r\cdot re^{-i\theta}=0

Riscriviamo il tutto in una forma più compatta, tenendo presente che e^{i\theta}\neq 0\ \forall \theta

r^2[re^{4i\theta}-5]=0

Applichiamo nuovamente la legge di annullamento del prodotto

\\ r^2=0\\ \\ re^{4i\theta}-5=0

Dalla prima equazione ricaviamo r=0, cui corrisponde la soluzione z=0.

Per la seconda

re^{4i\theta}=5

procediamo al confronto tra modulo e argomento, ricordando che due numeri complessi in forma esponenziale coincidono se e solo se hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono di un multiplo intero di 2\pi, ossia

\begin{cases}r=5\\ 4\theta=2k\pi\end{cases}

Per individuare gli argomenti \theta delle possibili soluzioni dobbiamo cercare tutti e soli gli argomenti per i quali

\\ \bullet\ \ 0\leq \theta<2\pi\\ \\ \bullet\ 4\theta=2k\pi \ \mbox{per}\ k\in\mathbb{Z}

Dalla seconda equazione otteniamo

\theta=\frac{k\pi}{2}

e dunque la condizione 0\le\theta<2\pi diventa

0\le\frac{k\pi}{2}<2\pi

Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori interi di k che soddisfano la doppia disequazione, isolando l'incognita intera nel membro centrale

0\le k\pi<4\pi\to 0\le k<4

Gli unici interi che soddisfano l'ultima condizione sono

k=0\vee k=1\vee k=2\vee k=3

Così facendo, ricaviamo

\\ r=5,\ \theta=0\ \to\ z=5\\ \\ r=5,\ \theta=\frac{\pi}{2}\ \to\ z=5i\\ \\ r=5,\ \theta=\pi\ \to\ z=-5\\ \\ r=5,\ \theta=\frac{3\pi}{2}\ \to\ z=-5i

Abbiamo finito: l'equazione assegnata inizialmente ammette 9 radici distinte.
Ringraziano: CarFaby, Slapp
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