Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma di Jordan di una matrice non diagonalizzabile

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#88859
avt
Kronoa
Cerchio
Sono bloccato da giorni su un esercizio che chiede di elencare tutte le possibilità per il polinomio minimo, per il polinomio caratteristico e per la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa alcune equazioni.

Sia A una matrice di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

A^5+A^4 = A^3+A^2 ; A^5+3A^4 = -3A^3-A^2

Elencare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.
#88900
avt
Galois
Amministratore
Dai dati forniti dalla traccia dell'esercizio sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

A^5+A^4 = A^3+A^2 ; A^5+3A^4 = -3A^3-A^2

Ci viene chiesto di riportare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.

Dividiamo lo svolgimento in due parti: nella prima vedremo quali sono le forme del polinomio minimo m_A(λ) e nella seconda parte, partendo da esse, dedurremo le possibili forme canoniche di Jordan e le varianti del polinomio caratteristico p_A(λ).


Possibili polinomi minimi di A

Sappiamo che A soddisfa le equazioni

A^5+A^4 = A^3+A^2 → A^5+A^4-A^3-A^2 = O_4 ; A^5+3A^4 = -3A^3-A^2 → A^5+3A^4+3A^3+A^2 = O_4

dove O_4 è la matrice nulla di ordine 4.

Da ciò segue che A è una radice dei polinomi

p_1(λ) = λ^5+λ^4-λ^3-λ^2 ; p_2(λ) = λ^5+3λ^4+3λ^3+λ^2

Scomponiamoli!

p_1(λ) = λ^2(λ+1)^2(λ-1) ; p_2(λ) = λ^2(λ+1)^3

Ricordiamo ora che il polinomio minimo di A è, per definizione, il polinomio monico di grado più basso che ammette A come radice, dunque m_A(λ) divide sia p_1(λ) che p_2(λ).

Tutti i possibili divisori comuni sono i polinomi

λ ; λ^2 ; (λ+1) ; (λ+1)^2 ; λ(λ+1) ; λ^2(λ+1) ; λ(λ+1)^2 ; λ^2(λ+1)^2

La condizione sulla non diagonalizzabilità di A ci permette di escludere i polinomi che hanno tutte le radici con molteplicità 1. Ricordiamo, infatti, che una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile in un campo K è che il suo polinomio minimo abbia tutte le radici in K con molteplicità 1.

In definitiva, il polinomio minimo di A è uno tra i seguenti:

m_1(λ) = λ^2 ; m_2(λ) = (λ+1)^2 ; m_3(λ) = λ^2(λ+1) ; m_4(λ) = λ(λ+1)^2 ; m_5(λ) = λ^2(λ+1)^2


Forme canoniche di Jordan e polinomi caratteristici di A

Questa è la parte dell'esercizio più delicata, quindi conviene fare qualche premessa teorica.

Se il polinomio minimo di una matrice A è della forma

m(λ) = (λ-λ_1)^(k_1) (λ-λ_2)^(k_2) ··· (λ-λ_r)^(k_r)

allora λ_1, λ_2, ..., λ_r sono tutti e soli gli autovalori distinti di A. Inoltre, ogni esponente k_i, con 1 ≤ i ≤ r, è il massimo ordine dei blocchi di Jordan relativi a λ_i.

Un blocco di Jordan relativo a λ_i assume la seguente forma:

J_p(λ_i) = [λ_i 1 0 0 ··· 0 0 0 ; 0 λ_i 1 0 ··· 0 0 0 ; 0 0 λ_i 1 ··· 0 0 0 ; ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ; ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ; 0 0 0 0 ··· λ_i 1 0 ; 0 0 0 0 ··· 0 λ_i 1 ; 0 0 0 0 ··· 0 0 λ_i ]

dove il pedice p ne denota la dimensione e prende il nome di ordine del blocco.

A ciascun autovalore possono essere associati più blocchi di Jordan; in particolare il numero di blocchi di Jordan relativi a λ_i è pari alla molteplicità geometrica di λ_i, mentre la somma degli ordini di tutti i blocchi riferiti a λ_i ne uguaglia la molteplicità algebrica.

La forma canonica di Jordan di A è una matrice a blocchi, dove ciascun blocco è un blocco di Jordan relativo a un autovalore e la somma di tutti gli ordini dev'essere uguale all'ordine di A.

Infine, il polinomio caratteristico di A è dato da

p_A(λ) = (λ-λ_1)^(p_1)(λ-λ_2)^(p_2) ··· (λ-λ_r)^(p_r)

dove, per ogni 1 ≤ i ≤ r, l'esponente p_i è la molteplicità algebrica di λ_i e quindi è uguale alla somma degli ordini di tutti i blocchi di Jordan riferiti a λ_i.

Alla luce di queste premesse torniamo all'esercizio e determiniamo le possibili forme canoniche di Jordan e i relativi polinomi caratteristici della matrice A, il cui polinomio minimo è uno tra:

m_1(λ) = λ^2 ; m_2(λ) = (λ+1)^2 ; m_3(λ) = λ^2(λ+1) ; m_4(λ) = λ(λ+1)^2 ; m_5(λ) = λ^2(λ+1)^2


1) Se m_A(λ) = m_1(λ) = λ^2, allora l'unico autovalore di A è λ_1 = 0 e a esso risulta sicuramente associato un blocco di Jordan di ordine 2.

Per ipotesi, A è una matrice di ordine 4, per cui si presentano due eventualità:

- vi è un altro blocco di Jordan di ordine 2 relativo a λ_1, oppure

- vi sono due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a λ_1.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_1 1 ; 0 0 0 λ_1] = [0 1 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 1 ; 0 0 0 0]

Nel secondo:

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_1 0 ; 0 0 0 λ_1] = [0 1 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0]

In entrambi i casi il polinomio caratteristico è

p_A(λ) = λ^4


2) Se m_A(λ) = m_2(λ) = (λ+1)^2, l'unico autovalore di A è λ_1 = -1. A esso risulta associato un blocco di Jordan di ordine 2 e, come nel caso precedente, si presentano le seguenti eventualità:

- c'è un altro blocco di Jordan di ordine 2 relativo a λ_1, oppure

- vi sono due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a λ_1.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_1 1 ; 0 0 0 λ_1] = [-1 1 0 0 ; 0 -1 0 0 ; 0 0 -1 1 ; 0 0 0 -1]

Nel secondo:

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_1 0 ; 0 0 0 λ_1] = [-1 1 0 0 ; 0 -1 0 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 -1]

In entrambi i casi p_A(λ) = (λ+1)^4


3) Se m_A(λ) = m_3(λ) = λ^2(λ+1), allora A ha due autovalori:

λ_1 = 0 ; λ_2 = -1

A λ_1 è associato un blocco di Jordan di ordine 2, mentre a λ_2 è associato un blocco di Jordan di ordine 1.

Rimane da sistemare un blocco di Jordan di ordine 1, che può essere riferito a λ_1 oppure a λ_2.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_1 0 ; 0 0 0 λ_2] = [0 1 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 -1]

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(λ) = λ^3(λ+1)

Nel secondo caso:

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_2 0 ; 0 0 0 λ_2] = [0 1 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 -1]

e il polinomio caratteristico è

p_A(λ) = λ^2(λ+1)^2


4) Se m_A(λ) = m_4(λ) = λ(λ+1)^2, gli autovalori di A sono:

λ_1 = 0 ; λ_2 = -1

A λ_1 è associato un blocco di Jordan di ordine 1, mentre λ_2 è associato un blocco di Jordan di ordine 2.

Il blocco rimanente, di ordine 1, può essere riferito a λ_1 oppure a λ_2.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

[λ_1 0 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_2 1 ; 0 0 0 λ_2] = [0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 -1 1 ; 0 0 0 -1]

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(λ) = λ^2(λ+1)^2

Nel secondo caso:

[λ_1 0 0 0 ; 0 λ_2 1 0 ; 0 0 λ_2 0 ; 0 0 0 λ_2] = [0 0 0 0 ; 0 -1 1 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 -1]

e il polinomio caratteristico è

p_A(λ) = λ(λ+1)^3


5) Infine, se m_A(λ) = m_5(λ) = λ^2(λ+1)^2, gli autovalori di A sono:

λ_1 = 0 ; λ_2 = -1

e, a entrambi, è associato un blocco di Jordan di ordine 2, cosicché la forma canonica di Jordan è

[λ_1 1 0 0 ; 0 λ_1 0 0 ; 0 0 λ_2 1 ; 0 0 0 λ_2] = [0 1 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 -1 1 ; 0 0 0 -1]

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(λ) = λ^2(λ+1)^2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
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