Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma di Jordan di una matrice non diagonalizzabile

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Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma di Jordan di una matrice non diagonalizzabile #88859

avt
Kronoa
Cerchio
Sono bloccato da giorni su un esercizio che chiede di elencare tutte le possibilità per il polinomio minimo, per il polinomio caratteristico e per la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa alcune equazioni.

Sia A una matrice di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

\\ A^5+A^4=A^3+A^2\\ \\ A^5+3A^4=-3A^3-A^2

Elencare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.
 
 

Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma di Jordan di una matrice non diagonalizzabile #88900

avt
Galois
Amministratore
Dai dati forniti dalla traccia dell'esercizio sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

\\ A^5+A^4=A^3+A^2\\ \\ A^5+3A^4=-3A^3-A^2

Ci viene chiesto di riportare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.

Dividiamo lo svolgimento in due parti: nella prima vedremo quali sono le forme del polinomio minimo m_A(\lambda) e nella seconda parte, partendo da esse, dedurremo le possibili forme canoniche di Jordan e le varianti del polinomio caratteristico p_A(\lambda).


Possibili polinomi minimi di A

Sappiamo che A soddisfa le equazioni

\\ A^5+A^4=A^3+A^2 \ \ \to \ \ A^5+A^4-A^3-A^2=O_4 \\ \\ A^5+3A^4=-3A^3-A^2 \ \ \to \ \ A^5+3A^4+3A^3+A^2=O_4

dove O_4 è la matrice nulla di ordine 4.

Da ciò segue che A è una radice dei polinomi

\\ p_1(\lambda)=\lambda^5+\lambda^4-\lambda^3-\lambda^2 \\ \\ p_2(\lambda)=\lambda^5+3\lambda^4+3\lambda^3+\lambda^2

Scomponiamoli!

\\ p_1(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2(\lambda-1) \\ \\ p_2(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^3

Ricordiamo ora che il polinomio minimo di A è, per definizione, il polinomio monico di grado più basso che ammette A come radice, dunque m_A(\lambda) divide sia p_1(\lambda) che p_2(\lambda).

Tutti i possibili divisori comuni sono i polinomi

\\ \lambda \ \ ; \ \ \lambda^2 \ \ ; \ \ (\lambda+1) \ \ ; \ \ (\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ \lambda(\lambda+1) \\ \\ \lambda^2(\lambda+1) \ \ ; \ \ \lambda(\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ \lambda^2(\lambda+1)^2

La condizione sulla non diagonalizzabilità di A ci permette di escludere i polinomi che hanno tutte le radici con molteplicità 1. Ricordiamo, infatti, che una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile in un campo \mathbb{K} è che il suo polinomio minimo abbia tutte le radici in \mathbb{K} con molteplicità 1.

In definitiva, il polinomio minimo di A è uno tra i seguenti:

\\ m_1(\lambda)=\lambda^2 \ \ ; \ \ m_2(\lambda)=(\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ m_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1) \\ \\ m_4(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ m_5(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2


Forme canoniche di Jordan e polinomi caratteristici di A

Questa è la parte dell'esercizio più delicata, quindi conviene fare qualche premessa teorica.

Se il polinomio minimo di una matrice A è della forma

m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1} (\lambda-\lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{k_r}

allora \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r sono tutti e soli gli autovalori distinti di A. Inoltre, ogni esponente k_i, con 1 \le i \le r, è il massimo ordine dei blocchi di Jordan relativi a \lambda_i.

Un blocco di Jordan relativo a \lambda_i assume la seguente forma:

J_p{(\lambda_i)}=\begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}

dove il pedice p ne denota la dimensione e prende il nome di ordine del blocco.

A ciascun autovalore possono essere associati più blocchi di Jordan; in particolare il numero di blocchi di Jordan relativi a \lambda_i è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_i, mentre la somma degli ordini di tutti i blocchi riferiti a \lambda_i ne uguaglia la molteplicità algebrica.

La forma canonica di Jordan di A è una matrice a blocchi, dove ciascun blocco è un blocco di Jordan relativo a un autovalore e la somma di tutti gli ordini dev'essere uguale all'ordine di A.

Infine, il polinomio caratteristico di A è dato da

p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{p_1}(\lambda-\lambda_2)^{p_2} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{p_r}

dove, per ogni 1 \le i \le r, l'esponente p_i è la molteplicità algebrica di \lambda_i e quindi è uguale alla somma degli ordini di tutti i blocchi di Jordan riferiti a \lambda_i.

Alla luce di queste premesse torniamo all'esercizio e determiniamo le possibili forme canoniche di Jordan e i relativi polinomi caratteristici della matrice A, il cui polinomio minimo è uno tra:

\\ m_1(\lambda)=\lambda^2 \ \ ; \ \ m_2(\lambda)=(\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ m_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1) \\ \\ m_4(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^2 \ \ ; \ \ m_5(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2


1) Se m_A(\lambda)=m_1(\lambda)=\lambda^2, allora l'unico autovalore di A è \lambda_1=0 e a esso risulta sicuramente associato un blocco di Jordan di ordine 2.

Per ipotesi, A è una matrice di ordine 4, per cui si presentano due eventualità:

- vi è un altro blocco di Jordan di ordine 2 relativo a \lambda_1, oppure

- vi sono due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a \lambda_1.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Nel secondo:

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

In entrambi i casi il polinomio caratteristico è

p_A(\lambda)=\lambda^4


2) Se m_A(\lambda)=m_2(\lambda)=(\lambda+1)^2, l'unico autovalore di A è \lambda_1=-1. A esso risulta associato un blocco di Jordan di ordine 2 e, come nel caso precedente, si presentano le seguenti eventualità:

- c'è un altro blocco di Jordan di ordine 2 relativo a \lambda_1, oppure

- vi sono due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a \lambda_1.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Nel secondo:

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

In entrambi i casi p_A(\lambda)=(\lambda+1)^4


3) Se m_A(\lambda)=m_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1), allora A ha due autovalori:

\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-1

A \lambda_1 è associato un blocco di Jordan di ordine 2, mentre a \lambda_2 è associato un blocco di Jordan di ordine 1.

Rimane da sistemare un blocco di Jordan di ordine 1, che può essere riferito a \lambda_1 oppure a \lambda_2.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda+1)

Nel secondo caso:

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico è

p_A(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2


4) Se m_A(\lambda)=m_4(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^2, gli autovalori di A sono:

\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-1

A \lambda_1 è associato un blocco di Jordan di ordine 1, mentre \lambda_2 è associato un blocco di Jordan di ordine 2.

Il blocco rimanente, di ordine 1, può essere riferito a \lambda_1 oppure a \lambda_2.

Nel primo caso la forma canonica di Jordan è

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2

Nel secondo caso:

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico è

p_A(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^3


5) Infine, se m_A(\lambda)=m_5(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2, gli autovalori di A sono:

\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-1

e, a entrambi, è associato un blocco di Jordan di ordine 2, cosicché la forma canonica di Jordan è

\begin{pmatrix}\lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico di A è

p_A(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
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Os