Proiezione ortogonale con forma quadratica

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Proiezione ortogonale con forma quadratica #88838

avt
Kronoa
Cerchio
Un esercizio tratto da una prova d'esame di Algebra Lineare chiede di calcolare la proiezione ortogonale di un generico vettore su un sottospazio vettoriale di uno spazio euclideo definito da una forma quadratica. Potreste spiegarmi come si risolve?

Nello spazio euclideo \left(\mathbb{R}^3, \ \langle \ , \ \rangle\right), definito dalla forma quadratica

Q(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2-2x_1x_2+8x_1x_3+x_2^2-2x_2x_3+6x_3^2

calcolare la proiezione ortogonale P_U(\mathbf{v}) del generico vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 sul sottospazio U definito dall'equazione cartesiana

x_1-x_2+x_3=0
 
 

Proiezione ortogonale con forma quadratica #88843

avt
Galois
Amministratore
Nello spazio euclideo \left(\mathbb{R}^3, \ \langle \ , \ \rangle\right), dove \langle \ , \ \rangle è il prodotto scalare individuato dalla forma quadratica

Q(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2-2x_1x_2+8x_1x_3+x_2^2-2x_2x_3+6x_3^2

consideriamo il sottospazio

U=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x_1-x_2+x_3=0\}

e, come richiesto, calcoliamo la proiezione ortogonale P_U(\mathbf{v}) di un generico vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 sul sottospazio U.

Poiché U è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 formato da una sola equazione cartesiana, la dimensione di U è pari a 2

\mbox{dim}(U)=2

Ciò premesso, per calcolare la proiezione ortogonale del vettore

\mathbf{v}=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3

sul sottospazio U occorre:

- individuare una base \mathcal{B} di U;

- ortogonalizzare \mathcal{B} con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ottenendo, così, una base ortogonale di U;

- rendere la base ortogonale, che indichiamo con \mathcal{B}', una base ortonormale dividendo ogni vettore di \mathcal{B}' per la propria norma indotta dal prodotto scalare \langle \ , \ \rangle.

Detti \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 i vettori di una base ortonormale di U, la proiezione ortogonale di \mathbf{v} su U è data da:

P_U(\mathbf{v})=\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_1\rangle \mathbf{u}_1 + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2\rangle \mathbf{u}_2


Prodotto scalare definito da Q

Prima di mettere in atto il procedimento esposto conviene ricavare la forma esplicita del prodotto scalare individuato da

Q(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2-2x_1x_2+8x_1x_3+x_2^2-2x_2x_3+6x_3^2

Scriviamo la matrice associata alla forma quadratica Q, una matrice simmetrica di ordine tre A=(a_{ij}) tale che:

- gli elementi della diagonale principale di A sono i coefficienti dei termini x_i^2;

- ogni elemento di posto (i,j) con i<j è il dimezzato del coefficiente di x_ix_j;

- gli elementi di posto (i,j) con i>j si ricavano per simmetria.

In buona sostanza

A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 6\end{pmatrix}

Il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle definito da Q è dato dal seguente prodotto tra matrici

\\ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \\ \\ = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (3x_1-x_2+4x_3)y_1+(-x_1+x_2-x_3)y_2+(4x_1-x_2+6x_3)y_3


Calcolo di una base di U

Per determinare una base del sottospazio

U=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x_1-x_2+x_3=0\}

ricaviamo la forma vettoriale di un suo generico elemento.

Assegniamo alle incognite x_2,x_3 il ruolo di parametro libero

x_2=a \ \ ; \ \ x_3=b \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

Ricaviamo il valore di x_1 in funzione di a,b dall'equazione che definisce U

x_1-x_2+x_3=0 \ \to \ x_1=x_2-x_3 \ \to \ x_1=a-b

Un generico elemento di U è della forma

(x_1,x_2,x_3)=(a-b,a,b) = a(1,1,0)+b(-1,0,1)

per cui una base di U è

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{(1,1,0), \ (-1,0,1)\}


Ortogonalizzazione di \mathcal{B}

Per Gram-Schmidt, una base ortogonale di U è formata dai vettori

\\ \mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1 \\ \\ \mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle}\mathbf{w}_1

Calcoliamoli!

\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1=(1,1,0)

Per determinare \mathbf{v}_2 svolgiamo a parte i prodotti scalari che lo definiscono.

In generale

\\ \langle (x_1,x_2,x_3) , (y_1,y_2,y_3)\rangle = \\ \\ = (3x_1-x_2+4x_3)y_1+(-x_1+x_2-x_3)y_2+(4x_1-x_2+6x_3)y_3

per cui

\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle = \langle (-1,0,1) , (1,1,0)\rangle =

nella forma esplicita del prodotto scalare sostituiamo (x_1,x_2,x_3) con (-1,0,1) e (y_1,y_2,y_3) con (1,1,0)

\\ =(-3-0+4) \cdot 1 + (1+0-1) \cdot 1 + (-4-0+6) \cdot 0 = \\ \\ = 1+0+0=1

Analogamente

\\ \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle = \langle (1,1,1) , (1,1,0)\rangle = \\ \\ = (3-1+0) \cdot 1 + (-1+1-0) \cdot 1 + (4-1+0) \cdot 0 = \\ \\ = 2+0+0 = 2

di conseguenza

\\ \mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle}\mathbf{w}_1 = \\ \\ \\ = (-1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0) = \\ \\ \\ = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1\right)

In definitiva, una base ortogonale di U è

\mathcal{B}'=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\} = \left\{(1,1,0), \ \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1\right)\right\}


Calcolo di una base ortonormale di U

Una base ortonormale di U è

\mathcal{B}''=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\}

dove

\mathbf{u}_1=\frac{1}{||\mathbf{w}_1||} \ \mathbf{w}_1 \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2=\frac{1}{||\mathbf{w}_2||} \ \mathbf{w}_2

Calcoliamo le norme

||\mathbf{w}_2||=\sqrt{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle} = \sqrt{2}

Per quanto concerne \mathbf{w}_2 abbiamo che:

\\ \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2\rangle = \left\langle \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1\right), \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1\right) \right\rangle = \\ \\ \\ = \left(-\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+4\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-6+\frac{1}{2}+6\right) \cdot 1 = \\ \\ \\ = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

di conseguenza

||\mathbf{w}_2||=\sqrt{\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2\rangle} = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Da ciò segue che una base ortonormale di U è formata dai vettori:

\\ \mathbf{u}_1=\frac{1}{||\mathbf{w}_1||} \ \mathbf{w}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0) = \\ \\ \\ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0\right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_2=\frac{1}{||\mathbf{w}_2||} \ \mathbf{w}_2 = \sqrt{2}\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1\right) = \\ \\ \\ = \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)


Proiezione ortogonale di \mathbf{v} su U

Come anticipato, la proiezione ortogonale di un generico vettore

\mathbf{v}=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3

sul sottospazio U, è data da:

P_U(\mathbf{v})=\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_1\rangle \mathbf{u}_1 + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2\rangle \mathbf{u}_2

Calcoliamo a parte i prodotti scalari

\\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_1\rangle = \left\langle (x,y,z) , \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0\right)\right\rangle = \\ \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{2}}(3x-y+4z) + \frac{1}{\sqrt{2}} (-x+y-z) = \\ \\ \\ = \frac{2}{\sqrt{2}}x+\frac{3}{\sqrt{2}}z \\ \\ \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2\rangle = \left\langle (x,y,z) , \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)\right\rangle = \\ \\ \\ = -\frac{3\sqrt{2}}{2}(3x-y+4z) - \frac{\sqrt{2}}{2} (-x+y-z) + \sqrt{2}(4x-y+6z) = \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{2}}{2}z

In conclusione:

\\ P_U(\mathbf{v})=\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_1\rangle \mathbf{u}_1 + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2\rangle \mathbf{u}_2 = \\ \\ = \left(\frac{2}{\sqrt{2}}x+\frac{3}{\sqrt{2}}z\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}z\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right) =

svolgiamo i prodotti scalare-vettore

\\ = \left(x+\frac{3}{2}z, \ x+\frac{3}{2}z, \ 0 \right) + \left(-\frac{3}{2}z, \ -\frac{1}{2}z, \ z\right) = \\ \\ = (x, \ x+z, \ z)

Fine!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
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Os