Proiezione ortogonale con forma quadratica

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Proiezione ortogonale con forma quadratica #88838

avt
Kronoa
Cerchio
Ciao a tutti. Devo calcolare la proiezione ortogonale di un generico vettore su un sottospazio vettoriale di uno spazio euclideo definito da una forma quadratica. Vi posto il problema:

nello spazio euclideo (\mathbb{R}^3, \ < \ >) , definito dalla forma quadratica

q(x_1,x_2,x_3)=3x_{1}^{2}-2x_1x_2+8x_1x_3+x_{2}^{2}-2x_2x_3+6x_{3}^{2}

calcolare la proiezione ortogonale P_U(x,y,z) del generico vettore (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 sul sottospazio U, definito dall'equazione x_1-x_2+x_3=0

Vi ringrazio tanto !!
 
 

Proiezione ortogonale con forma quadratica #88843

avt
Galois
Amministratore
Ciao Kronoa emt

Dobbiamo determinare la proiezione di un generico vettore (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 su un sottospazio vettoriale U dello spazio vettoriale euclideo (\mathbb{R}^3, < \ >) definito dalla forma quadratica

q(x_1,x_2,x_3)=3x_{1}^{2}-2x_1x_2+8x_1x_3+x_{2}^{2}-2x_2x_3+6x_{3}^{2}

Prima di procedere con la risoluzione vera e propria (ti avviso che ci saranno tanti e noiosi calcoli algebrici) vediamo qual è il metodo generale che permette di calcolare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale U.

1) Si trova una base per il sottospazio U;

2) con il processo di Gram Schmidt si rende tale base ortonormale.

3) La proiezione ortogonale del generico vettore e v su U è il vettore:

p_U(v)=<v,u_1>u_1+<v,u_2>u_2+\cdots+<v,u_r>u_r

dove \{u_1,u_2, ..., u_r\} è una base ortonormale per U.


Ovviamente, nello svolgere l'esercizio dato, ogni qualvolta comparirà il prodotto scalare non dovremo utilizzare il prodotto scalare standard ma, attenzione, il prodotto scalare definito dalla forma quadratica data che ora ricaveremo.

Partendo dalla forma quadratica data:

q(x_1,x_2,x_3)=3x_{1}^{2}-2x_1x_2+8x_1x_3+x_{2}^{2}-2x_2x_3+6x_{3}^{2}

per ricavare il prodotto scalare associato a tale forma scriviamoci, anzitutto, la matrice associata alla forma quadratica che è la matrice

\begin{pmatrix}3 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 6\end{pmatrix}

Per ricavare tale matrice basta disegnarsi una tabellina di questo tipo

\begin{array}{c|ccc}&x_1&x_2&x_3\\ \cline{1-4}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}

e, in ogni incrocio, scrivere i termini corrispondenti prestando attenzione al fatto che tutti i termini, ad eccezione di quelli sulla diagonale, vanno dimezzati.

Così, ad esempio, l'elemento a_{11} si ottiene dall'incrocio degli elementi x_1 \mbox{ e } x_1 e quindi sarà il coefficiente di x_1^2 che non andrà dimezzato perché sulla diagonale.

Allo stesso modo, l'elemento  a_{12} si ricava dall'incrocio tra