Equazione complessa di secondo grado con la formula risolutiva

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Equazione complessa di secondo grado con la formula risolutiva #88813

avt
resogunMth21
Punto
Usando la formula di risoluzione per le equazioni di secondo grado calcolare le soluzioni dell'equazione:

z^{2}+\left ( 3i-1 \right )z-2+23i=0
 
 

Re: Equazione complessa di secondo grado con la formula risolutiva #88816

avt
Galois
Amministratore
Siamo di fronte ad un'equazione di secondo grado a coefficienti complessi

z^{2}+\left (3i-1\right)z-2+23i=0

con

a=1, \ b=3i-1, \ c=-2+23i

dove a, \ b \mbox{ e } c rappresentano, rispettivamente, il coefficiente del termine di secondo grado, il coefficiente del termine di primo grado ed il termine noto.

Troviamo, con la formula del discriminante il valore del \Delta.


\Delta=b^2-4ac=\underbrace{(3i-1)^2}_{b^2}-4 \cdot (\underbrace{1}_{a})\cdot \underbrace{(-2+23i)}_{c}=

Sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo il prodotto

=9i^2+1-6i+8-92i=-9+1-6i+8-92i=-98i

infatti, per definizione di unità immaginaria i^2=-1 e quindi 9i^2=9\cdot(-1)=-9.

Possiamo così concludere che \Delta=-98i

Dalla formula risolutiva per le equazioni di secondo grado otteniamo

z_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3i+1\pm \sqrt{-98i}}{2}

Dobbiamo allora calcolare \sqrt{-98i}

Innanzitutto osserviamo che la scomposizione in fattori primi di 98 è

98=7^2 \cdot 2

Pertanto

\sqrt{-98i}=7\sqrt{-2i}

Ci riconduciamo così a dover calcolare la radice quadrata del numero complesso z=-2i utilizzando la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso.

Dobbiamo cioè usare la formula

\sqrt[2]{z}=\sqrt[2]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2k\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{2}\right)}\right)

con k=0 \mbox{ e } k=1, e dove r \mbox{ e } \theta rappresentano, rispettivamente, modulo e argomento del numero complesso z=-2i che si presenta nella forma algebrica

z=a+ib con a=0 \mbox{ e } b=-2.

Allora

r=\mbox{ modulo }=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2

e, supponendo di lavorare nell'intervallo (-\pi, \pi]:

\theta=\mbox{ argomento }=-\frac{\pi}{2}

infatti siamo nel caso a=0 \ \mbox{e} \ b<0.

Ai fini del risultato finale non cambia nulla se si sceglie l'intervallo [0,2\pi).

] In tal caso \theta=\frac{3}{2}\pi ma i valori di seno e coseno sono esattamente gli stessi, quindi procediamo oltre.

Abbiamo

\sqrt{r}=\sqrt{2}

e quindi

\sqrt[2]{-2i}=\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)}\right)


Per k=0:

\\ \sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\right)}\right)= \\ \\ \\= \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)=1-i


Per k=1

\sqrt[2]{2}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2} +2\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4} +\pi\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}+\pi\right)\right)=

(per le formule sugli archi associati)

\\ =\sqrt{2}\left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1+i


Le due radici del numero complesso -2i sono 1-i \ \mbox{e} \ -1+i.

Sostituendole in

z_{1,2}=\frac{-3i+1\pm7\sqrt{-2i}}{2}

al posto di \pm \sqrt{-2i}

otteniamo le soluzioni dell'equazione

z_{1,2}=\frac{-3i+1\pm 7(1-i)}{2}=\begin{cases}\frac{-3i+1-7+7i}{2}= -3-2i\\ \\ \frac{-3i+1+7-7i}{2}=4-5i\end{cases}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby
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Os