Potenza 12esima di un numero complesso con De Moivre

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Potenza 12esima di un numero complesso con De Moivre #88812

avt
resogunMth21
Punto
In questo esercizio devo applicare la formula di De Moivre per calcolare la potenza dodicesima di un numero complesso in forma algebrica.

Traccia: applicando la formula di De Moivre, calcolare

(-3+2i)^{12}
 
 

Re: Potenza 12esima di un numero complesso con De Moivre #88818

avt
Omega
Amministratore
Ciao!

Vogliamo calcolare la potenza 12esima del numero complesso in forma algebrica

(-3+2i)^{12}

Il procedimento per l'applicazione della formula di De Moivre prevede innanzitutto di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica la base, vale a dire nella forma

r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

A tal proposito dobbiamo calcolare modulo e argomento del numero complesso z=-3+2i, rispettivamente r,\theta.

Per il modulo:

|z|=r=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

Per l'argomento, scegliamo di considerare 0\leq \theta<2\pi

\\ Arg(z)=\theta=\arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)+\pi= \\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{2}{-3}\right)+\pi

ossia, per la disparità dell'arcotangente

Arg(z)=\theta=-\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+\pi

Il fatto che l'argomento del numero complesso in esame sia un angolo non notevole non ci deve spaventare. È pur sempre un angolo.

In questo modo possiamo passare alla forma

(-3+2i)=\sqrt{13}\left(\cos\left(-\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+\pi\right)+i\sin\left(-\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+\pi\right)\right)

Ora possiamo applicare la formula di De Moivre

[r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))]^n=r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))

Per cui

(-3+2i)^{12}=(\sqrt{13})^{12}\left(\cos\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+12\pi\right)+i\sin\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+12\pi\right)\right)

È opportuno - e possiamo - riscrivere il risultato in una forma più decorosa e per farlo possiamo applicare le formule degli angoli associati o volendo le formule di addizione e sottrazione degli archi.

In realtà non dobbiamo scomodare nessuna delle due famiglie di formule perché 12\pi è un multiplo di 2\pi e quindi, per periodicità

\\ \cos\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+12\pi\right)=\cos\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right) \\ \\ \\ \sin\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)+12\pi\right)=\sin\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right)

Nota che l'angolo in questione non è notevole: con l'ausilio di una qualsiasi calcolatrice online possiamo vedere che vale

-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\simeq -7,056\simeq -404,3^o

Questo angolo non è compreso in [0,2\pi), poco male: quella condizione riguardava l'uso della formula per il calcolo dell'argomento a partire dalla forma algebrica.

Possiamo quindi lasciare il risultato nella seguente forma

(-3+2i)^{12}=(\sqrt{13})^{12}\left[\cos\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right)+i\sin\left(-12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right)\right]

o meglio

(-3+2i)^{12}=13^{6}\left[\cos\left(12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right)-i\sin\left(12\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\right)\right]

Fatto!
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os