Radici cubiche complesse di i

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Radici cubiche complesse di i #88805

avt
resogunMth21
Punto
Devo risolvere questo esercizio: calcolare le radici cubiche complesse di -i.

Traccia: determinare [3]√(-i).

Come posso procedere?

Grazie mille.
 
 

Radici cubiche complesse di i #88814

avt
Galois
Amministratore
Ciao resogunMth21,

per calcolare la radice terza di -i procediamo con la regola per il calcolo delle radici di un numero complesso.

Dobbiamo anzitutto calcolare modulo e argomento del numero complesso z = -i che si presenta in forma algebrica z = a+ib con a = 0 e b = -1, pertanto il modulo di z = -i è

r = |z| = √(a^2+b^2) = √(0+(-1)^2) = √(1) = 1

mentre l'argomento è

θ = Arg(z) = -(π)/(2)

Siamo infatti nel caso a = 0 e b < 0 e stiamo supponendo di lavorare nell'intervallo (-π,π].

Una volta trovati modulo argomento di z = -i per calcolare [3]√(-i) applichiamo la formula

w_(k) = [3]√(z) = [3]√(r)(cos(((θ+2kπ)/(3)))+isin(((θ+2kπ)/(3))))

con k = 0, k = 1 e k = 2.

Per k = 0 si ottiene

 w_(0) = [3]√(1)(cos(((-(π)/(2))/(3)))+isin(((-(π)/(2))/(3)))) = cos(-(π)/(6))+isin(-(π)/(6)) =

Ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche otteniamo:

= (√(3))/(2)-(1)/(2)i

Per k = 1 abbiamo

 w_1 = [3]√(1)(cos(((-(π)/(2)+2π)/(3)))+isin(((-(π)/(2)+2π)/(3)))) = cos(-(π)/(6)+(2)/(3)π)+isin(-(π)/(6)+(2)/(3)π) =

Sommando all'interno degli argomenti di seno e coseno

 = cos((3)/(6)π)+isin((3)/(6)π) = cos((π)/(2))+isin((π)/(2)) = 0+1i = i

infatti il coseno di 90 vale 0 ed il seno di 90 vale 1.

Infine per k = 2 si ha

 w_(2) = [3]√(1)(cos(((-(π)/(2)+4π)/(3)))+isin(((-(π)/(2)+4π)/(3)))) = cos(-(π)/(6)+(4)/(3)π)+isin(-(π)/(6)+(4)/(3)π) =

Sommando all'interno degli argomenti, otteniamo

 = cos((7)/(6)π)+isin((7)/(6)π) = -(√(3))/(2)-(1)/(2)i

Possiamo così concludere che le radici terze di z = -i, espresse in forma algebrica, sono:

w_0 = (√(3))/(2)-(1)/(2)i ; w_1 = i ; w_2 = -(√(3))/(2)-(1)/(2)i

Fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os