Radici cubiche complesse di i

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Radici cubiche complesse di i #88805

avt
resogunMth21
Punto
Devo risolvere questo esercizio: calcolare le radici cubiche complesse di -i.

Traccia: determinare \sqrt[3]{-i}.

Come posso procedere?

Grazie mille.
 
 

Radici cubiche complesse di i #88814

avt
Galois
Amministratore
Ciao resogunMth21,

per calcolare la radice terza di -i procediamo con la regola per il calcolo delle radici di un numero complesso.

Dobbiamo anzitutto calcolare modulo e argomento del numero complesso z=-i che si presenta in forma algebrica z=a+ib \ \mbox{con} \ a=0 \ \mbox{e} \ b=-1, pertanto il modulo di z=-i è

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0+(-1)^2}=\sqrt{1}=1

mentre l'argomento è

\theta=Arg(z)=-\frac{\pi}{2}

Siamo infatti nel caso a=0 \ \mbox{e}\ b<0 e stiamo supponendo di lavorare nell'intervallo (-\pi,\pi].

Una volta trovati modulo argomento di z=-i per calcolare \sqrt[3]{-i} applichiamo la formula

w_{k}=\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2k\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{3}\right)}\right)

con k=0, \ k=1 \ \mbox{e} \ k=2.

Per k=0 si ottiene

\\ w_{0}=\sqrt[3]{1}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=

Ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche otteniamo:

=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

Per k=1 abbiamo

\\ w_1=\sqrt[3]{1}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2} +2\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\cos\left(-\frac{\pi}{6} +\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\pi\right)=

Sommando all'interno degli argomenti di seno e coseno

\\ =\cos\left(\frac{3}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{6}\pi\right)= \\ \\ \\ =\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+1i=i

infatti il coseno di 90 vale 0 ed il seno di 90 vale 1.

Infine per k=2 si ha

\\ w_{2}=\sqrt[3]{1}\left(\cos{\left(\frac{-\frac{\pi}{2} +4\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\cos\left(-\frac{\pi}{6} +\frac{4}{3}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{4}{3}\pi\right)=

Sommando all'interno degli argomenti, otteniamo

\\ =\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

Possiamo così concludere che le radici terze di z=-i, espresse in forma algebrica, sono:

w_0=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \ \ \ ;\ \ \  w_1=i \ \ \ ; \ \ \  w_2= -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

Fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os