Equazioni complesse di secondo grado con la formula risolutiva

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Equazioni complesse di secondo grado con la formula risolutiva #88769

avt
resogunMth21
Punto
Ciao dovrei risolvere queste due equazioni di secondo grado in campo complesso applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

\\ z^2-(2i-3)z-1-3i=0\\ \\ z^2-(7+3i)z+10+10i=0
 
 

Equazioni complesse di secondo grado con la formula risolutiva #88780

avt
Galois
Amministratore
Ciao resogunMth21.

Siamo di fronte a due equazioni di secondo grado aventi come coefficienti numeri complessi.

Un'equazione di secondo grado a coefficienti complessi si presenta nella forma

az^2+bz+c=0 \ \mbox{con} \ a\neq 0

e le soluzioni z_1 \ \mbox{e} \ z_2 di tali equazioni si trovano utilizzando la formula risolutiva

z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

dove il discriminante (\Delta) è dato da

\Delta=b^2-4ac

Dobbiamo, molto semplicemente, sostituire i valori dei parametri a,\ b\ \mbox{e} \ c nella formula del discriminante e nella formula risolutiva per ottenere, così, le soluzioni.


Partiamo dalla prima equazione, ossia

\bullet \ z^2-(2i-3)z-1-3i=0

a è il coefficiente di z^2, quindi a=1;

b è il coefficiente di z e, nel nostro caso, b=-(2i-3);

c è il termine noto e quindi c=-1-3i

Sostituendo tali valori nella formula del discriminate troviamo

\Delta=b^2-4ac=\underbrace{[-(2i-3)]^2}_{b^2}-4 \cdot (\underbrace{1}_{a})\cdot \underbrace{(-1-3i)}_{c}=

Sviluppando il quadrato di binomio ed il prodotto

\\ =(4i^2-12i+9)+4+12i =\\ \\ -4-12i+9+4+12i=9

infatti, per definizione di unità immaginaria i^2=-1 e quindi 4i^2=4\cdot(-1)=-4.

Ossia \Delta=9, allora dalla formula risolutiva otteniamo

z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-(2i-3))\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{2i-3\pm3}{2}

Possiamo così concludere che

\\ z_1=\frac{2i-3-3}{2} = \frac{2i-6}{2}=\frac{2(i-3)}{2}=i-3 \\ \\ \\ z_2=\frac{2i-3 + 3}{2} = \frac{2i}{2}=i

sono le soluzioni della prima equazione.

-----------

Passiamo ora alla seconda equazione

\bullet \ z^{2}-(7+3i)z+10+10i=0

In questo caso

a=1, \ b=-(7+3i), \ c=10+10i

Quindi, sfruttando la formula del delta otteniamo

\\ \Delta=b^2-4ac=[-(7+3i)]^2-4\cdot 1\cdot(10+10i)=\\ \\ \\=49+42i+9i^2-40-40i=49+42i-9-40-40i= \\ \\ =49+2i-49=2i

Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado giungiamo alle soluzioni

z_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-(7+3i))\pm \sqrt{2i}}{2\cdot 1} = \frac{7+3i\pm \sqrt{2i}}{2}

Attenzione, non abbiamo finito. Per ottenere le soluzioni sotto forma di numeri complessi in forma algebrica dobbiamo calcolare la radice quadrata di 2i, così come spiegato nella lezione sulle radici di un numero complesso, che ti invito a leggere. Dobbiamo cioè applicare la formula

\sqrt[2]{z}=\sqrt[2]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2k\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{2}\right)}\right)

con k=0 \ \mbox{e} \ k=1.

r \ \mbox{e} \ \theta rappresentano, rispettivamente, modulo e argomento del numero complesso z=2i.

Tale numero complesso è della forma z=a+ib con a=0\ \mbox{e} \ b=2, pertanto il modulo e l'argomento di z

r=\mbox{modulo}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2

\theta=\mbox{argomento}=\frac{\pi}{2}

Infatti siamo nel caso a=0\ \mbox{e}\ b>0.

Pertanto

\sqrt{r}=\sqrt{2}

e quindi

\sqrt[2]{2i}=\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)}\right)

Per k=0:

\\ \sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+i

Per k=1

\\ \sqrt[2]{2}\left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} +2\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)}\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} +\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)\right)=

(per le formule sugli archi associati)=

\\ =\sqrt{2}\left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1-i

Pertanto le due radici del numero complesso 2i sono

1+i\ \mbox{e}\ -1-i

Sostituendole in

z_{1,2}= \frac{7+3i\pm \sqrt{2i}}{2}

al posto di \pm \sqrt{2i} otteniamo

\\ z_1=\frac{7+3i+i+1}{2}=4+2i \\ \\ \\ z_2=\frac{7+3i-i-1}{2}=3+i

È tutto!

PS: per evitarsi il calcolo delle radici n-esime si sarebbe, molto più semplicemente, potuto notare che

\sqrt{2i}=x+iy

da cui elevando al quadrato membro a membro otterremmo

2i=x^2-y^2+2i xy

Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dei due membri riusciamo a costruire il sistema

\begin{cases}x^2-y^2=0\\ 2x y=2\end{cases}

Dalla prima equazione, otteniamo

x^2-y^2=0\to x^2=y^2\iff x=\pm y

Se x=y, la seconda equazione diventa

2x^2=2\to x^2=1\to x=\pm 1

Otteniamo quindi due soluzioni

\sqrt{2i}=\pm1\pmi=\begin{cases}1+i\\ -1-i\end{cases}

e quindi,

z_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-(7+3i))\pm \sqrt{2i}}{2\cdot 1} = \frac{7+3i\pm(1+i)}{2}

ottenendo così le stesse identiche soluzioni ma sbrigandosi molto prima.
Ringraziano: Omega
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Os