Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione

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Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione #88689

avt
feddy
Cerchio
Ciao ragazzi, non riesco a determinare la proiezione di una retta su un piano lungo una data direzione. Il testo del problema è il seguente:

Si consideri lo spazio affine A(3) in cui sia definito un sistema di riferimento canonico R.

a) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante l’origine e di direzione v=(1,-2,1).

b) Determinare la proiezione della retta r sul piano
 \pi:2x-y=1 in direzione w=(-2,2,1)



Il primo punto è ok ma non riesco a risolvere il secondo. So che in genere si trova il piano ortogonale a  \pi e contenente la retta e poi si interseca con il piano dato. Solo che qui mi danno la direzione w e non so impostare!
 
 

Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione #88695

avt
Galois
Coamministratore
Ciao feddy. emt

Per determinare la proiezione di una retta su un piano lungo una direzione basta ritoccare leggermente il metodo che si utilizza per trovare la proiezione ortogonale di una retta su un piano.

Lo vedremo nel dettaglio tra poco. Intanto togliamoci davanti il punto a) che si risolve in mezzo secondo.

Conosciamo le coordinate cartesiane di un punto appartenente alla retta che, nel caso in esame, è l'origine (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0).

Sappiamo inoltre che la retta ha direzione v_r=(l,m,n)=(1,-2,1).

Possiamo allora immediatamente ricavare l'equazione parametrica della retta r che è data da

r: \ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt \end{cases} \ t \in \mathbb{R}

ossia

r: \ \begin{cases}x=t \\ y=-2t \\ z=t \end{cases} \ t \in \mathbb{R}

Passando poi dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana della retta otteniamo

r: \ \begin{cases}y+2x=0 \\ z-x=0 \end{cases}

che è l'equazione cartesiana della retta r.

-------

Ora, come ben dici, per trovare la proiezione ortogonale della retta r sul piano \pi occorre determinare il piano \theta ortogonale a \pi e contenente la retta per poi intersecarlo con il piano dato, ossia con il piano \pi.

Il punto b) ci chiede, però, di determinare non la proiezione ortogonale ma, bensì, la proiezione della retta sul piano \pi lungo la direzione w=(-2,2,1).

Come anticipato ci basterà modificare leggermente il procedimento prima visto, cioè invece di

determinare il piano \theta ortogonale a \pi e contenente la retta r per poi intersecarlo con il piano \pi,

dovremo trovare

il piano \theta contenente la retta r e parallelo alla direzione w=(-2,2,1); successivamente lo intersecheremo col piano \pi ottenendo la proiezione richiesta.


Per intenderci, il secondo piano che definisce la retta proiezione (quello che abbiamo \theta) nel caso di una proiezione ortogonale di una retta su un piano \pi è, ovviamente, ortogonale a \pi mentre nel caso di una proiezione lungo una direzione sarà parallelo alla direzione data.

Procediamo!

In generale, per determinare l'equazione di un piano abbiamo bisogno di un punto e di due direzioni.

Poiché il piano \theta da trovare deve contenere la retta r:

- una delle due direzioni sarà la direzione della retta r data dal punto a) del problema, ossia v_r=(l,m,n)=(1,-2,1).

- il punto sarà un generico punto della retta r, qual è l'origine (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)(informazione che ricaviamo sempre dal punto a).

- l'altra direzione è quella del vettore w=(-2,2,1)=(w_1,w_2,w_3).

Abbiamo quindi a disposizione tutti i dati che ci occorrono e possiamo subito determinare l'equazione cartesiana del piano \theta.


Possiamo procedere in due modi. Te li riporto entrambi.

1° Metodo

Possiamo ottenere l'equazione del piano \theta ponendo uguale a zero il seguente determinante:

\left|\begin{matrix}x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ l & m & n \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix}\right|

L'equazione del piano \theta è allora data da

\left|\begin{matrix}x & y & z \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 1\end{matrix}\right|=0

Procedendo con la regola di Sarrus otteniamo

\theta: \ 4x+3y+2z=0


2° Metodo

Conoscendo le coordinate di un punto appartenente al piano (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0) e due direzioni

v_r=(l,m,n)=(1,-2,1) \mbox{ e } (l',m',n')=w=(-2,2,1)

possiamo scrivere l'equazione parametrica del piano \theta che è è data dal seguente sistema lineare:

\begin{cases}x=x_0+l\lambda + l'\mu \\ y=y_0+l\lambda+l'\mu \\ z= z_0+l \lambda+l'\mu \end{cases}

ossia

\begin{cases}x=\lambda-2\mu \\ y=-2\lambda+2\mu \\ z= \lambda+\mu \end{cases}

Per passare dall'equazione parametrica alla cartesiana del piano devi scegliere anzitutto uno dei due parametri \lambda \mbox{ o } \mu in una delle tre equazioni e sostituirlo nelle altre due.

Ricavando

\lambda=x+2\mu

dalla prima equazione e sostituendo nelle altre due otteniamo

\begin{cases}\lambda=x+2\mu \\ y = -2(x+2\mu)+2\mu \\ z=x+2\mu+\mu\end{cases}

\begin{cases}\lambda=x+2\mu \\ y = -2x-2\mu \\ z=x+3\mu\end{cases}

Ancora, ricavando \mu nella seconda equazione

\mu=\frac{-2x-y}{2}

e sostituendo nella terza, si ottiene

z=x+3\mu = x + 3\left(\frac{-2x-y}{2}\right) = x - 3x -\frac{3}{2}y

Ossia

z= -2x-\frac{3}{2}y

Portando tutto a primo membro e moltiplicando tutto per 2 si ottiene proprio

4x+3y+2z=0

-------

Possiamo così concludere che la proiezione della retta r sul piano \pi lungo la direzione w è la retta

\begin{cases}2x-y-1=0 \\ 4x+3y+2z =0 \end{cases}

ottenuta intersecando i piani \pi \mbox{ e } \theta.

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione #88699

avt
feddy
Cerchio
Grazie mille, tutto chiarissimo!

Ho solo un'ultima domanda da porti.

Alla fine abbiamo un sistema lineare in due equazioni e tre incognite:

\begin{cases} 4x+3y+2z=0 \\ 2x-y-1=0 \end{cases}

che ammette \infty^{1} soluzioni. Dal punto di vista geometrico cosa significa?


Posso inoltre sostituire la y della prima equazione con la y della seconda ed ottenere così 10x+2z-3=0? È corretto fare questo?
Ringraziano: Galois

Re: Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione #88713

avt
Galois
Coamministratore
Attenzione! Ciò che dici non è corretto.. Molto semplicemente

\begin{cases} 4x+3y+2z=0 \\ 2x-y-1=0 \end{cases}

rappresenta l'equazione cartesiana di una retta (nell'esercizio dato è proprio la (retta) proiezione della retta r sul piano \pi) e non devi fare alcuna sostituzione. L'esercizio termina così.. hai infatti trovato quello che cercavi.


Ricorda che una retta dello spazio è data dall'intersezione di due piani (ovviamente non paralleli) quindi l'equazione cartesiana di una retta si scrive proprio come un sistema lineare dove ciascuna delle due equazioni è l'equazione di un piano e tali equazioni sono tali da essere linearmente indipendenti.


Ad ogni modo, il sistema che definisce l'equazione cartesiana di una retta ammette \infty^1 soluzioni e, per determinarle, non puoi procedere alla sostituzione diretta ma devi, appunto, assegnare ad una delle tre incognite il ruolo di parametro libero.

Procedendo poi alla sostituzione non farai altro se non ricavare l'equazione parametrica della retta.

Qui trovi tutte le info del caso: dall'equazione cartesiana alla parametrica della retta. emt
Ringraziano: CarFaby, feddy

Re: Proiezione di una retta su un piano lungo una direzione #88714

avt
feddy
Cerchio
Perfetto, tutto molto chiaro!

Grazie mille Galois emt
Ringraziano: Galois
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Os