Risolvere equazione di 2 grado in campo complesso

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Risolvere equazione di 2 grado in campo complesso #88667

avt
resogunMth21
Punto
Non riesco a risolvere questa equazione di secondo grado in campo complesso:

z^2+3iz-4+6i=0
 
 

Risolvere equazione di 2 grado in campo complesso #88670

avt
Omega
Amministratore
Ciao ResogunMth21,

come sempre, quando ci troviamo a dover risolvere un'equazione complessa, ci si parano davanti diverse tecniche risolutive e sta a noi decidere quale adottare per prima.

In questo frangente l'intuito può aiutare molto, ma nel caso scegliessimo una strada che dovesse rivelarsi troppo complicata, potremmo tranquillamente ripartire da capo. Capita spesso con questo genere di esercizi.

Consideriamo l'equazione

z^2+3iz-4+6i=0

la prima cosa che ci viene in mente consiste nell'applicare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, che ovviamente vale anche in \mathbb{C}.

Tale formula però potrebbe condurci ad una radice da riscrivere in forma algebrica, operazione che non è sempre semplicissima e che può generare parecchie difficoltà.

E allora tagliamo subito la testa al toro: dato che l'equazione proposta non ha un primo membro mostruoso, possiamo provare con il vecchio caro metodo della sostituzione in forma algebrica.

Poniamo

z=a+ib

dove a,b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso, e sono entrambi numeri reali.

Effettuiamo la sostituzione

(a+ib)^2+3i(a+ib)-4+6i=0

Usiamo la regola per il quadrato di un binomio

a^2+2iab+i^2b^2+3ia+3i^2b-4+6i=0

Ricordiamoci che l'unità immaginaria ha come quadrato -1

a^2+2iab-b^2+3ia-3b-4+6i=0

Ora riordiniamo raccogliendo la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso dato dal primo membro

(a^2-b^2-3b-4)+i(2ab+3a+6)=0

Perfetto. Per far sì che l'uguaglianza sia soddisfatta, dobbiamo mettere a sistema le condizioni relative all'annullamento della parte reale e della parte immaginaria

\begin{cases}a^2-b^2-3b-4=0\\ 2ab+3a+6=0\end{cases}

Usiamo la seconda equazione per ricavare una delle due incognite in funzione dell'altra, e procediamo per sostituzione nella prima equazione.

Quale incognita dobbiamo scegliere? È indifferente dal punto di vista teorico, ma dal punto di vista pratico ci conviene ricavare a perché compare una sola volta nella prima equazione

\begin{cases}a^2-b^2-3b-4=0\\ a(2b+3)+6=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}a^2-b^2-3b-4=0\\ a=-\frac{6}{2b+3}\end{cases}

Nota che il precedente passaggio vale a patto che sia b\neq -\frac{3}{2}, altrimenti ci ritroveremmo a dividere per zero. D'altra parte con b= -\frac{3}{2} ci troveremmo ad avere come seconda equazione 6=0, evidentemente impossibile, per cui possiamo scartare tale valore di b senza ulteriori considerazioni.

Sostituiamo

\left(-\frac{6}{2b+3}\right)^2-b^2-3b-4=0

da cui

\frac{36}{4b^2+12b+9}-b^2-3b-4=0

e portiamo tutto a denominatore comune, effettuando i dovuti calcoli. Niente di complicato, sono solo noiosi.

\frac{36+(4b^2+12b+9)(-b^2-3b-4)}{4b^2+12b+9}=0

da cui

\frac{36-4b^4-24b^3-61b^2-75b-36}{4b^2+12b+9}=0

Sul denominatore non dobbiamo porre alcuna condizione di esistenza (già fatto), quindi possiamo passare a

-4b^4-24b^3-61b^2-75b=0

effettuiamo un raccoglimento totale

-b(4b^3+24b^2+61b+75)=0

La legge di annullamento del prodotto ci permette di passare a

\\ b=0\ \ \ \mbox{prima soluzione}\\ \\ 4b^3+24b^2+61b+75=0

Ora qui dobbiamo necessariamente procedere con la regola di Ruffini, e quindi cerchiamo una radice del polinomio.

Dopo alcuni tentativi su b=1,\ b=-1,\ b=3 troviamo

b=-3\ \to\ 4(-3)+24(-3)^2+61(-3)+75=0

e applicando il metodo di Ruffini otteniamo la scomposizione del polinomio

(b+3)(4b^2+12b+25)=0

da cui la seconda soluzione: b=-3.

Dato che stiamo risolvendo un'equazione di secondo grado complessa, non ci aspettiamo altre soluzioni: infatti, se proviamo a risolvere

4b^2+12b+25=0

otteniamo un discriminante negativo.

A questo punto torniamo al sistema:

\begin{cases}b=0\ \vee\ b=-3\\ a=-\frac{6}{2b+3}\end{cases}

e sostituendo separatamente le due soluzioni relative alla parte immaginaria, otteniamo

\begin{cases}b=0\\ a=-2\end{cases}\ \ \ \vee\ \ \ \begin{cases}b=-3\\ a=+2\end{cases}

per cui le soluzioni dell'equazione complessa sono date da

z=-2\ \ \ \vee\ \ \ z=+2-3i

In accordo con il risolutore di equazioni complesse online.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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