Studiare una successione di insiemi di R^2

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Studiare una successione di insiemi di R^2 #88537

avt
Slapp
Punto
Non capisco come approcciare i problemi di questo tipo, in cui si parte da una famiglia di sottoinsiemi di R^2 che rispondono a certe caratteristiche (solitamente una qualche combinazione di x ed y risultano maggiori o minori di una successione).

Ad esempio, non capisco come affrontare questo problema: si considerino i sottoinsiemi di \mathbb{R}^2:

E_n=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \left(1+\frac{1}{n} \right)^n<\sqrt{x^2+y^2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

Determinare:

\\ a)\ \ \ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}E_n\\ \\ \\ b)\ \ \ B=\bigcup_{n=1}^{+\infty}E_n\\ \\ \\ c)\ \ \ A^o\\ \\ d)\ \ \ B^o\\ \\ e)\ \ \ A'\\ \\ f)\ \ \ B'

Avrei davvero bisogno di un aiuto per capire come procedere, possibilmente generalizzando il più possibile la procedura in modo da poter capire come svolgere esercizi simili in futuro.
Grazie mille a chi sarà in grado di aiutarmi!

PS: Ho provato a cercare esercizi simili in rete, possibilmente risolti, ma non ne ho trovati. Nel caso esista già una sezione dedicata ad esempi di esercizi di questo tipo, se foste in grado di indicarmela mi sarebbe di grande aiuto.
 
 

Studiare una successione di insiemi di R^2 #88543

avt
Omega
Amministratore
Eccomi Slapp,

purtroppo non abbiamo una sezione imbastita con esercizi sullo studio delle successioni di insiemi in R^2, ma andando a memoria sono sicurissimo che tu possa trovare esercizi analoghi con la barra di ricerca.

In generale posso dirti che in questa tipologia di esercizi è fondamentale:

- conoscere le definizioni a menadito;

- saper riconoscere la forma degli insiemi che costituiscono la successione.

Per il primo punto te la cavi con lo studio nudo e crudo, con particolare attenzione verso gli esempi e i casi particolari; per il secondo basta saper fare i conti in Analisi 1 style. emt

Noi qui abbiamo una successione di insiemi di R^2

E_n=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \left(1+\frac{1}{n} \right)^n<\sqrt{x^2+y^2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

e il primo passo è capire come sono fatti.

Consideriamo l'insieme ottenuto per l'indice n=1

E_1=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 2<\sqrt{x^2+y^2}<4\right\}

non è difficile vedere che ci troviamo di fronte ad una corona circolare con raggi r_1=2,\ R_1=4, dal momento che

\sqrt{x^2+y^2}=k\ \ \mbox{ con }k>0

individua una circonferenza di centro l'origine e raggio k. A questo proposito la lettura della lezione sulla rappresentazione delle soluzioni di una disequazione nel piano potrà esserti di grande aiuto.

insieme piano

Ora, il generico insieme E_n è una corona circolare con raggi

r_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\ \ \ R_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}

Studiamo le relative successioni, riducendo così il problema ad un banale esercizio di Analisi 1.

Dobbiamo ricavare informazioni relative alla monotonia delle due successioni e ai loro limiti:

- la successione \{r_n\}_n ha limite

\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

(che poi è proprio uno dei limiti notevoli di successione che già conosciamo) ed è una successione strettamente crescente.

- La successione \{R_{n}\}_n ha limite

\\ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=e\cdot 1=e

(dove ho semplicemente usato le proprietà delle potenze) ed è una successione strettamente decrescente.

Riguardo alla monotonia, ometto i conti per non appesantire troppo la spiegazione ma, nel caso servisse, ti do una dritta sul metodo da usare. Per studiare la monotonia delle due successioni puoi appellarti al teorema ponte e studiare la monotonia delle funzioni corrispondenti

f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x,\ \ \ g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}

mediante il solito metodo delle derivate. Se dovessi avere problemi con i calcoli, ricorda che vale l'identità log-exp per cui

y=e^{\log(y)}\ \ \ \mbox{ se }y>0

quindi puoi riscrivere le due funzioni nella forma

f(x)=e^{x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)},\ \ \ g(x)=e^{(x+1)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}

***

Ad ogni modo, le precedenti informazioni ci permettono di concludere che la famiglia di insiemi in esame è una successione di corone circolari inscatolate

E_1\superset E_2\superset E_3\superset ...\superset E_n\superset ...

per cui dovremmo essere pronti per rispondere alle varie domande. emt


a) Per determinare l'intersezione infinita, osserviamo che le corone collassano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio e.

Questo non basta per concludere che l'intersezione coincide con la circonferenza di centro l'origine e raggio e; ma osservando che

\forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}

e facendo riferimento alla definizione di intersezione, possiamo concludere che

a)\ \ \ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}E_n=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \sqrt{x^2+y^2}=e\}


b) Per l'unione infinita, la risposta è quantomai immediata perché le corone sono inscatolate:

a)\ \ \ B=\bigcup_{n=1}^{+\infty}E_n=E_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 2<\sqrt{x^2+y^2}<4\}


c) Il simbolo A^o denota l'interno dell'insieme A, vale a dire l'insieme dei punti interni.

In \mathbb{R}^2 la definizione di punto interno di un insieme è del tutto analoga al caso di \mathbb{R}:

(x_0,y_0) si dice punto interno ad un insieme E se esiste almeno un intorno completo di (x,0,y_0) tutto contenuto in E

Ciò che cambia è la definizione di intorno: in una dimensione abbiamo abbiamo a che fare con intervalli aperti, in due dimensioni con cerchi aperti.

Se hai consapevolezza della definizione di intorno in \mathbb{R}^2, allora vedrai subito che A non ammette punti interni, perché comunque scelto un punto di A non è possibile trovarne un intorno che sia interamente contenuto in A.

È ovvio, A è una linea!

A^o=\emptyset


d) Il simbolo A' denota l'insieme derivato di A, vale a dire l'insieme dei punti di accumulazione di A.

Anche in questo caso la definizione di punto di accumulazione è del tutto analoga rispetto al caso unidimensionale, ciò che cambia è la definizione di intorno:

(x_0,y_0) è un punto di accumulazione per E se per ogni \varepsilon>0 (per ogni raggio) esiste un (x,y)\in E,\ (x,y)\neq (x_0,y_0) tale che (x,y)\in B_{\varepsilon}(x_0,y_0).

A parole: (x_0,y_0) è un punto di accumulazione di E se, comunque scelto un intorno di (x_0,y_0), esiste almeno un punto di E diverso da (x_0,y_0) e tale da appartenere all'intorno considerato.

Nel nostro caso, comunque scegliamo un punto della circonferenza A e comunque scegliamo un intorno di tale punto, troveremo sempre almeno un altro punto della circonferenza che cade in tale intorno.

È ovvio, abbiamo a che fare con una linea! Quindi tutti i punti di A sono punti di accumulazione per A, quindi

A'=A


e) + f) Tenendo presente che la corona circolare B=E_1 è priva della frontiera, non dovresti avere problemi nel vedere che

\\ B^o=B\\ \\ B'=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 2\leq\sqrt{x^2+y^2}\leq4\}
Ringraziano: CarFaby, Slapp

Re: Studiare una successione di insiemi di R^2 #88544

avt
Slapp
Punto
Grande, grazie mille! Mi ci vorrà un po' di tempo per "digerire" la risposta, temo, ed imparare ad applicare il ragionamento, ma mi sembra tutto chiaro.
Grazie ancora e buona giornata!
Ringraziano: Omega
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Os